Intégration de Hecke de fonctions singulières

Laurent Clozel

doi:10.5802/afst.1738

Laurent Clozel ¹

¹ Département de Mathématiques, Université Paris-Sud, Bâtiment 307, 91407 Orsay Cedex, France

Annales de la Faculté des sciences de Toulouse : Mathématiques, Serie 6, Volume 32 (2023) no. 2, pp. 319-335.

Abstract
Abstract

Consider a modular curve $Y$ associated to a congruence subgroup of level $N$ . The Hecke correspondences $T_{n}$ , for $(n, N) = 1$ , are defined on $Y$ . For $z_{1} \in Y$ , the sequence of measures $\bar{T_{n}} z_{1} = {(deg T_{n})}^{- 1} \sum δ_{z_{i}}$ , $T_{n} z_{1}$ being the sum (with multiplicities) of the $z_{i}$ , converges to the invariant normalised measure on $Y$ for the weak topology, viz., the evaluation against functions $f \in C_{c} (Y)$ . Here this is extended to the evaluation against a function $f$ that has a logarithmic singularity at a given point. For $f$ given, the convergence is then achieved for almost all $z_{1}$ . The proof relies on Sobolev theory, already used in this context in [5, §8].

Soit $Y$ une courbe modulaire, déduite d’un groupe de congruence de niveau $N$ . On dispose sur $Y$ des correspondances de Hecke $T_{n}$ pour $(n, N) = 1$ . Si $z_{1} \in Y$ , la suite de mesures $\bar{T_{n}} z_{1} = {(deg T_{n})}^{- 1} \sum δ_{z_{i}}$ , où $T_{n} z_{1}$ est la somme (avec multiplicités) des $z_{i}$ , tend faiblement (i.e., pour l’évaluation sur les fonctions $f \in C_{c} (Y)$ ) vers la mesure invariante normalisée sur $Y$ . Dans cet article, on étend ce résultat à l’évaluation sur une fonction $f$ ayant une singularité logarithmique en un point. La conclusion ( $f$ étant donnée) est alors vraie pour presque tout $z_{1} \in Y$ . Les démonstrations font appel à la théorie de Sobolev, déjà utilisée dans ce contexte dans [5, §8].

Received: 2020-09-29
Accepted: 2021-05-10
Published online: 2023-08-22

DOI: 10.5802/afst.1738

Author's affiliations:

Laurent Clozel ¹

¹ Département de Mathématiques, Université Paris-Sud, Bâtiment 307, 91407 Orsay Cedex, France

License:

CC-BY 4.0

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Laurent Clozel. Intégration de Hecke de fonctions singulières. Annales de la Faculté des sciences de Toulouse : Mathématiques, Serie 6, Volume 32 (2023) no. 2, pp. 319-335. doi : 10.5802/afst.1738. https://afst.centre-mersenne.org/articles/10.5802/afst.1738/

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