Feuilleter
no. 1
Comptage des quiddités sur les corps finis et sur quelques anneaux $\mathbb{Z}/N\mathbb{Z}$
Michael Cuntz1 ; Flavien Mabilat2
1 Leibniz Universität Hannover, Fakultät für Mathematik und Physik, Institut für Algebra, Zahlentheorie und Diskrete Mathematik, Welfengarten 1, D-30167, Hannover, Germany
2 Laboratoire de Mathématiques de Reims, UMR9008 CNRS et Université de Reims Champagne-Ardenne, U.F.R. Sciences Exactes et Naturelles, Moulin de la Housse, BP 1039 51687 Reims cedex 2, France
Annales de la Faculté des sciences de Toulouse : Mathématiques, Série 6, Tome 34 (2025) no. 1, pp. 75-105.

Les $\lambda $-quiddités de taille $n$ sont des $n$-uplets d’éléments d’un ensemble fixé, solutions d’une équation matricielle apparaissant lors de l’étude des frises de Coxeter. Celles-ci peuvent être considérées sur divers ensembles avec des structures très variables d’un ensemble à l’autre. L’objectif principal de ce texte est d’obtenir des formules explicites donnant le nombre de $\lambda $-quiddités de taille $n$ sur un corps fini et sur les anneaux $\mathbb{Z}/N\mathbb{Z}$ lorsque $N$ est de la forme $4m$ avec $m$ sans facteur carré. On donnera également quelques éléments sur le comportement asymptotique du nombre de $\lambda $-quiddités vérifiant une condition d’irréductibilité sur $\mathbb{Z}/N\mathbb{Z}$ lorsque $N$ tend vers l’infini.

The $\lambda $-quiddities of size $n$ are $n$-tuples of elements of a fixed set, solutions of a matrix equation appearing in the study of Coxeter’s friezes. These can be considered on various sets with very different structures from one set to another. The main objective of this text is to obtain explicit formulas giving the number of $\lambda $-quiddities of size $n$ over finite fields and over the rings $\mathbb{Z}/N\mathbb{Z}$ with $N=4m$ and $m$ square free. We will also give some elements about the asymptotic behavior of the number of $\lambda $-quiddities verifying an irreducibility condition over $\mathbb{Z}/N\mathbb{Z}$ when $N$ goes to infinity.

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DOI : 10.5802/afst.1806
Classification : 20H05, 05E99, 13F60, 51M20
Mots-clés : $\lambda $-quiddité, groupe modulaire, frise de Coxeter
Keywords: $\lambda $-quiddity, modular group, Coxeter’s frieze

Michael Cuntz 1 ; Flavien Mabilat 2

1 Leibniz Universität Hannover, Fakultät für Mathematik und Physik, Institut für Algebra, Zahlentheorie und Diskrete Mathematik, Welfengarten 1, D-30167, Hannover, Germany
2 Laboratoire de Mathématiques de Reims, UMR9008 CNRS et Université de Reims Champagne-Ardenne, U.F.R. Sciences Exactes et Naturelles, Moulin de la Housse, BP 1039 51687 Reims cedex 2, France
Licence : CC-BY 4.0
Droits d'auteur : Les auteurs conservent leurs droits 
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Michael Cuntz; Flavien Mabilat. Comptage des quiddités sur les corps finis et sur quelques anneaux $\mathbb{Z}/N\mathbb{Z}$. Annales de la Faculté des sciences de Toulouse : Mathématiques, Série 6, Tome 34 (2025) no. 1, pp. 75-105. doi : 10.5802/afst.1806. https://afst.centre-mersenne.org/articles/10.5802/afst.1806/

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