Feuilleter
no. 2
Rectifiable Reifenberg and Uniform Positivity under Almost Calibrations
[Un théorème de Reifenberg rectifiable et positivité uniforme sous des conditions de presque calibrage]
Nick Edelen1 ; Aaron Naber2 ; Daniele Valtorta3
1University of Notre Dame, USA
2Northwestern University, USA
3University of Milano-Bicocca, Italia
Annales de la Faculté des sciences de Toulouse : Mathématiques, Série 6, Tome 35 (2026) no. 2, pp. 283-295

The Reifenberg theorem [12] tells us that if a set $S\subseteq B_2\subseteq \mathbb{R}^n$ is uniformly close on all points and scales to a $k$-dimensional subspace, then $S$ is Hölder homeomorphic to a $k$-dimensional Euclidean ball. In general this is sharp, for instance such an $S$ may have infinite volume, be fractal in nature, and have no rectifiable structure.

The goal of this note is to show that we can improve upon this for an almost calibrated Reifenberg set, or more generally under a positivity condition in the context of an $\epsilon $-calibration $\Omega $. An $\epsilon $-calibration is very general, the condition holds locally for all continuous $k$-forms such that $\Omega [L]\le 1+\epsilon $ for all $k$-planes $L$. We say an oriented $k$-plane $L$ is $\alpha $-positive with respect to $\Omega $ if $\Omega [L]>\alpha >0$. If $\Omega [L]>\alpha > 1-\epsilon $ then we call $L$ an $\epsilon $-calibrated plane.

The main result of this paper is then the following. Assume at all points and scales $B_r(x)\subseteq B_2$ that $S$ is $\delta $-Hausdorff close to a subspace $L_{x,r}$ which is uniformly positive $\Omega [L_{x,r}]>\alpha $ with respect to an $\epsilon $-calibration. Then $S$ is $k$-rectifiable with uniform volume bounds.

Le théorème de Reifenberg [12] nous dit que si un ensemble $S \subseteq B_2 \subseteq \mathbb{R}^n$ est uniformément proche en tout point et s’étend à un sous-espace de dimension $k$, alors $S$ est Hölder homéomorphe à une boule euclidienne de dimension $k$. Ce résultat est en général optimal ; par exemple un tel $S$ peut avoir un volume infini, être de nature fractale et ne pas avoir de structure rectifiable.

L’objectif de cette note est de montrer que nous pouvons améliorer ce résultat pour un ensemble de Reifenberg presque calibré, ou plus généralement sous une condition de positivité dans le contexte d’un $\epsilon $-calibrage $\Omega $. Cette condition d’$\epsilon $-calibrage est très générale ; elle est valable localement pour toutes les $k$-formes continues telles que $\Omega [L]\le 1+\epsilon $ pour tous les $k$-plans $L$. On dit qu’un $k$-plan orienté $L$ est $\alpha $-positif par rapport à $\Omega $ si $\Omega [L]>\alpha >0$. Si $\Omega [L]>\alpha >1-\epsilon $ alors nous dirons du plan $L$ qu’il est $\epsilon $-calibré.

Le résultat principal de cet article est donc le suivant. Supposons qu’en tout point et à toutes les échelles $B_r(x) \subseteq B_2$, $S$ soit $\delta $-Hausdorff proche d’un sous-espace $L_{x,r}$ uniformément positif $\Omega [L_{x,r}]>\alpha $ par rapport à un $\epsilon $-calibrage. Alors $S$ est $k$-rectifiable avec des bornes de volume uniformes.

Reçu le :
Accepté le :
Publié le :
DOI : 10.5802/afst.1847
Classification : 28A75, 53C38, 28A78
Keywords: Reifenberg theorem, Hausdorff measure, rectifiability, calibrations

Nick Edelen  1   ; Aaron Naber  2   ; Daniele Valtorta  3

1 University of Notre Dame, USA
2 Northwestern University, USA
3 University of Milano-Bicocca, Italia
Licence : CC-BY 4.0
Droits d'auteur : Les auteurs conservent leurs droits
Nick Edelen; Aaron Naber; Daniele Valtorta. Rectifiable Reifenberg and Uniform Positivity under Almost Calibrations. Annales de la Faculté des sciences de Toulouse : Mathématiques, Série 6, Tome 35 (2026) no. 2, pp. 283-295. doi: 10.5802/afst.1847
@article{AFST_2026_6_35_2_283_0,
     author = {Nick Edelen and Aaron Naber and Daniele Valtorta},
     title = {Rectifiable {Reifenberg} and {Uniform} {Positivity} under {Almost} {Calibrations}},
     journal = {Annales de la Facult\'e des sciences de Toulouse : Math\'ematiques},
     pages = {283--295},
     year = {2026},
     publisher = {Universit\'e de Toulouse, Toulouse},
     volume = {Ser. 6, 35},
     number = {2},
     doi = {10.5802/afst.1847},
     language = {en},
     url = {https://afst.centre-mersenne.org/articles/10.5802/afst.1847/}
}
TY  - JOUR
AU  - Nick Edelen
AU  - Aaron Naber
AU  - Daniele Valtorta
TI  - Rectifiable Reifenberg and Uniform Positivity under Almost Calibrations
JO  - Annales de la Faculté des sciences de Toulouse : Mathématiques
PY  - 2026
SP  - 283
EP  - 295
VL  - 35
IS  - 2
PB  - Université de Toulouse, Toulouse
UR  - https://afst.centre-mersenne.org/articles/10.5802/afst.1847/
DO  - 10.5802/afst.1847
LA  - en
ID  - AFST_2026_6_35_2_283_0
ER  - 
%0 Journal Article
%A Nick Edelen
%A Aaron Naber
%A Daniele Valtorta
%T Rectifiable Reifenberg and Uniform Positivity under Almost Calibrations
%J Annales de la Faculté des sciences de Toulouse : Mathématiques
%D 2026
%P 283-295
%V 35
%N 2
%I Université de Toulouse, Toulouse
%U https://afst.centre-mersenne.org/articles/10.5802/afst.1847/
%R 10.5802/afst.1847
%G en
%F AFST_2026_6_35_2_283_0

[1] Jonas Azzam; Xavier Tolsa Characterization of n-rectifiability in terms of Jones’ square function. II, Geom. Funct. Anal., Volume 25 (2015) no. 5, pp. 1371-1412 | DOI | MR | Zbl

[2] Robert L. Bryant Metrics with exceptional holonomy, Ann. Math. (2), Volume 126 (1987) no. 3, pp. 525-576 | DOI | MR | Zbl

[3] Guy David; Tatiana Toro Reifenberg parameterizations for sets with holes, Memoirs of the American Mathematical Society, 215, American Mathematical Society, 2012 no. 1012, vi+102 pages | DOI | MR | Zbl

[4] Camillo De Lellis; Andrea Marchese; Emanuele Spadaro; Daniele Valtorta Rectifiability and upper Minkowski bounds for singularities of harmonic Q-valued maps, Comment. Math. Helv., Volume 93 (2018) no. 4, pp. 737-779 | DOI | MR | Zbl

[5] Nick Edelen; Max Engelstein Quantitative stratification for some free-boundary problems, Trans. Am. Math. Soc., Volume 371 (2019) no. 3, pp. 2043-2072 | DOI | MR | Zbl

[6] Nick Edelen; Aaron Naber; Daniele Valtorta Quantitative Reifenberg theorem for measures (2025) | arXiv

[7] James R. King The currents defined by analytic varieties, Acta Math., Volume 127 (1971) no. 3-4, pp. 185-220 | DOI | MR | Zbl

[8] Aaron Naber Lecture notes on rectifiable Reifenberg for measures, Harmonic analysis and applications (IAS/Park City Mathematics Series), Volume 27, American Mathematical Society, 2020, pp. 289-346 | MR | Zbl | DOI

[9] Aaron Naber; Daniele Valtorta Rectifiable-Reifenberg and the regularity of stationary and minimizing harmonic maps, Ann. Math. (2), Volume 185 (2017) no. 1, pp. 131-227 | DOI | MR | Zbl

[12] Ernst R. Reifenberg Solution of the Plateau Problem for m-dimensional surfaces of varying topological type, Acta Math., Volume 104 (1960), pp. 1-92 | DOI | MR | Zbl

[13] Leon Simon Reifenberg’s Topological Disc Theorem, http://www.math.uni-tuebingen.de/ab/analysis/pub/leon/reifenberg/reifenberg.dvi

[14] Leon Simon Lectures on geometric measure theory, Proceedings of the Centre for Mathematical Analysis, Australian National University, 3, Australian National University, 1983, vii+272 pages | MR | Zbl

[15] Xavier Tolsa Characterization of n-rectifiability in terms of Jones’ square function. I, Calc. Var. Partial Differ. Equ., Volume 54 (2015) no. 4, pp. 3643-3665 | DOI | MR | Zbl

[16] Tatiana Toro Geometric conditions and existence of bi-Lipschitz parameterizations, Duke Math. J., Volume 77 (1995) no. 1, pp. 193-227 | DOI | MR | Zbl

[17] Boyu Zhang Rectifiability and Minkowski bounds for the zero loci of ℤ/2 harmonic spinors in dimension 4, Commun. Anal. Geom., Volume 30 (2022) no. 7, pp. 1633-1681 | DOI | MR | Zbl

Cité par Sources :