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On the definition of the Galois group of linear differential equations
Annales de la Faculté des sciences de Toulouse : Mathématiques, Série 6, Tome 25 (2016) no. 5, pp. 1025-1049.

Considérons une équation différentielle linéaire Y ' =AY sur un corps différentiel K, où AM n (K). Soit K(F)/K une extension différentielle de corps déterminée par un système fondamental F de solutions de l’équation. Ainsi donc, l’extension K(F)/K dépend du choix de F. Nous montrons que le groupe de Galois selon la théorie de Galois générale d’Umemura est indépendant du choix de F et coïncide en particulier avec celui défini d’après la théorie de Galois de Picard-Vessiot. En appliquant ce résultat, nous pouvons démontrer les théorèmes de comparaison d’Umemura [5], [6], Malgrange [3] et Casale [1].

Let us consider a linear differential equation Y ' =AY over a differential field K, where AM n (K). Let F be a fundamental system of solutions of the equation. So the differential field extension K(F)/K depends on the choice of F. We show that Galois group according to the general Galois theory of Umemura is independent of the choice of F and, in particular, coincides with the Picard-Vessiot Galois group of the equation. Applying this result, we can prove comparison theorems of Umemura [5], [6], Malgrange [3] and Casale [1].

Publié le : 2016-11-13
DOI : https://doi.org/10.5802/afst.1521
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     author = {Katsunori  Saito},
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     journal = {Annales de la Facult\'e des sciences de Toulouse : Math\'ematiques},
     publisher = {Universit\'e Paul Sabatier, Toulouse},
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Katsunori  Saito. On the definition of the Galois group of linear differential equations. Annales de la Faculté des sciences de Toulouse : Mathématiques, Série 6, Tome 25 (2016) no. 5, pp. 1025-1049. doi : 10.5802/afst.1521. https://afst.centre-mersenne.org/item/AFST_2016_6_25_5_1025_0/

[1] Casale (G.).— Sur le groupoïde de Galois d’un feuilletage. PhD thesis, Université Paul Sabatier (2004).

[2] Kolchin (E.).— Differential algebra and algebraic groups. Academic Press (1973).

[3] Malgrange (B.).— On nonlinear differential Galois theory. Dedicated to the memory of Jacques-Louis Lions. Chinese Annals of Mathematics Series B, 23(2), p. 219-226 (2002).

[4] Umemura (H.).— Differential Galois theory of algebraic differential equations. Nagoya Mathematical Journal, 144, p. 1-58 (1996).

[5] Umemura (H.).— Differential Galois theory of infinite dimension. Nagoya Mathematical Journal, 144, p. 59-135 (1996).

[6] Umemura (H.).— Picard-Vessiot theory in general Galois theory. Algebraic methods in dynamical systems, 94, p. 263-193 (2011).

[7] van der Put (M.) and Singer (M. F).— Galois theory of linear differential equations. Springer-Verlag (2003).

[8] Zariski (O.) and Samuel (P.).— Commutative Algebra vol. I. Springer-Verlag (1975).