logo AFST
Espace des twisteurs d’une variété quaternionique Kähler généralisée
Guillaume Deschamps
Annales de la Faculté des sciences de Toulouse : Mathématiques, Serie 6, Volume 26 (2017) no. 3, p. 539-568

Specifying an almost quaternionic structure Q on a 4n-manifold M is equivalent to specifying a twistor bundle Z(Q)M. When Q is invariant under a torsion free connection, Z(Q) can be endowed with an almost complex structure 𝒥. For n=1 Atiyah, Hitchin and Singer [2] have related the integrability of 𝒥 to the geometry of (M,Q). For n>1 Salamon [23, 24] showed that the almost complex structure 𝒥 on Z(Q) is always integrable. Recently, Pantilie [21] introduced the concept of a generalized quaternionic Kähler structure 𝒬 on M; defined a generalized twistor space 𝒵(𝒬); and showed that 𝒵(𝒬) comes naturally equiped with a tautological almost generalized complex structure, but leaves open the problem of the integrability. The purpose of this paper is precisely to fill this gap by showing that the almost generalized complex structure on 𝒵(𝒬) is always integrable for n>1. We will conclude by giving several examples.

Munir une variété M de dimension 4n d’une structure presque quaternionique Q revient précisément à lui associer un fibré des twisteurs Z(Q)M. Lorsque Q est stable par une connexion sans torsion, on peut munir Z(Q) d’une structure presque complexe 𝒥. Dans le cas n=1, les travaux d’Atiyah, Hitchin et Singer [2] ont permis de relier l’intégrabilité de 𝒥 à la géométrie de la variété (M,Q). Pour n>1, Salamon [23, 24] a montré que la structure presque complexe 𝒥 sur Z(Q) est toujours intégrable. Pantilie [21] a remarqué qu’on pouvait étendre ces résultats à la géométrie complexe généralisée. Ainsi il définit ce qu’est une variété presque quaternionique généralisée (M,𝒬) et lui associe un 𝕊 2 -fibré 𝒵(𝒬)M. Comme dans le cas classique, lorsque 𝒬 est stable par une connexion sans torsion (au sens des connexions généralisées), il munit 𝒵(𝒬) d’une structure presque complexe généralisée 𝕁 mais ne donne pas de critère d’intégrabilité. Le but de cette article est précisément de donner un critère d’intégrabilité pour 𝕁. Nous étudierons ensuite plus particulièrement le cas où (M,g,𝒬) est une variété quaternionique Kähler généralisée et verrons qu’alors 𝒥 est automatiquement intégrable dès que n>1. Nous illustrerons ces résultats en donnant plusieurs exemples.

Received : 2016-01-04
Accepted : 2016-05-10
Published online : 2017-06-13
DOI : https://doi.org/10.5802/afst.1545
@article{AFST_2017_6_26_3_539_0,
     author = {Guillaume Deschamps},
     title = {Espace des twisteurs d'une vari\'et\'e quaternionique K\"ahler g\'en\'eralis\'ee},
     journal = {Annales de la Facult\'e des sciences de Toulouse : Math\'ematiques},
     publisher = {Universit\'e Paul Sabatier, Toulouse},
     volume = {6e s{\'e}rie, 26},
     number = {3},
     year = {2017},
     pages = {539-568},
     doi = {10.5802/afst.1545},
     language = {fr},
     url = {https://afst.centre-mersenne.org/item/AFST_2017_6_26_3_539_0}
}
Deschamps, Guillaume. Espace des twisteurs d’une variété quaternionique Kähler généralisée. Annales de la Faculté des sciences de Toulouse : Mathématiques, Serie 6, Volume 26 (2017) no. 3, pp. 539-568. doi : 10.5802/afst.1545. afst.centre-mersenne.org/item/AFST_2017_6_26_3_539_0/

[1] Dmitri V. Alekseevskij Riemannian spaces with exceptional holonomy groups, Funkts. Anal. Prilozh., Tome 2 (1968) no. 2, pp. 1-10

[2] Michael F. Atiyah; Nigel J. Hitchin; Isadore M. Singer Self-duality in four-dimensional Riemannian geometry, Proc. R. Soc. Lond., Ser. A, Tome 362 (1978), pp. 425-461

[3] Wolf P. Barth; Klaus Hulek; Chris A. M. Peters; Antonius Van de Ven Compact complex surfaces, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. Folge 3, Tome 4, Springer, 2004, xii+436 pages

[4] Marcel Berger Remarques sur les groupes d’holonomie des variétés riemanniennes, C. R. Acad. Sci., Paris, Sér. A, Tome 262 (1966), pp. 1316-1318

[5] Arthur L. Besse Einstein manifolds, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. Folge 3, Tome 10, Springer, 1987, xii+510 pages

[6] Andreas Bredthauer Generalized Hyperkähler geometry and supersymmetry, Nucl. Phys. B, Tome 773 (2007), pp. 172-183

[7] Theodore James Courant Dirac manifolds, Trans. Am. Math. Soc., Tome 319 (1990) no. 2, pp. 631-661

[8] Johann Davidov; Oleg Mushkarov Twistor spaces of generalized complex structures, J. Geom. Phys., Tome 56 (2006) no. 9, pp. 1623-1636

[9] Johann Davidov; Oleg Mushkarov Twistorial construction of generalized Kähler manifolds, J. Geom. Phys., Tome 57 (2007) no. 3, pp. 889-901

[10] Guillaume Deschamps Espaces twistoriels et structures complexes non standards, Publ. Mat., Barc., Tome 52 (2008) no. 2, pp. 435-457

[11] Guillaume Deschamps Compatible complex structures on twistor space, Ann. Inst. Fourier, Tome 61 (2011) no. 6, pp. 2219-2248

[12] Guillaume Deschamps Espace des twisteurs des structures complexes généralisées, Math. Z., Tome 279 (2015) no. 3-4, pp. 703-721

[13] Guillaume Deschamps; Noël Le Du; Christophe Mourougane Hessian of the metric form on twistor spaces (2012) (https://arxiv.org/abs/1202.0183v1)

[14] Rebecca Glover; Justin Sawon Generalized twistor spaces for hyperkähler manifolds, J. Lond. Math. Soc., Tome 91 (2015) no. 2, pp. 321-342

[15] Marco Gualtieri Generalized complex geometry (2003) (Ph. D. Thesis)

[16] Marco Gualtieri Branes on Poisson varieties, The many facets of geometry. A tribute to Nigel Hitchin., Oxford University Press, 2010, pp. 368-394

[17] Nigel J. Hitchin Compact four-dimensional Einstein manifolds, J. Differ. Geom., Tome 9 (1974), pp. 435-441

[18] Nigel J. Hitchin Generalized Calabi–Yau manifolds, Q. J. Math., Tome 54 (2003) no. 3, pp. 281-308

[19] A. Newlander; Louis Nirenberg Complex analytic coordinates in almost complex manifolds, Ann. Math., Tome 65 (1957), pp. 391-404

[20] Barrett O’Neill The fundamental equations of a submersion, Mich. Math. J., Tome 13 (1966), pp. 459-469

[21] Radu Pantilie Generalized quaternionic manifolds, Ann. Mat. Pura Appl., Tome 193 (2014) no. 3, pp. 633-641

[22] Roger Penrose Nonlinear gravitons and curved twistor theory, Gen. Relativ. Gravitation, Tome 7 (1976), pp. 31-52

[23] Simon Salamon Quaternionic Kähler manifolds, Invent. Math., Tome 67 (1982) no. 1, pp. 143-171

[24] Simon Salamon Quaternionic manifolds, Metriche invarianti, applicazioni armoniche e questioni connesse, Convegno 26-29 Maggio 1981. (Symposia Mathematica) Tome 26 (1982), pp. 139-151

[25] Isadore M. Singer; John A. Thorpe The curvature of 4-dimensional Einstein spaces, Global Analysis, Papers in Honor of K. Kodaira, Princeton University Press, 1969, pp. 355-365