This paper deals with rank two connections on the projective line having four simple poles with prescribed local exponents 1/4 and . This Lamé family of connections has been extensively studied in the literature. The differential Galois group of a Lamé connection is never maximal : it is either dihedral (finite or infinite) or reducible. We provide an explicit moduli space of those connections having a free underlying vector bundle and compute the algebraic locus of those reducible connections. The irreducible Lamé connections are derived from the rank regular connections on the elliptic curve ; those connections having a finite Galois group are known to be related to points of finite order on the elliptic curve. In the paper, we provide a very efficient algorithm to compute the locus of those Lamé connections having a finite Galois group of a given order. We also give an efficient algorithm to compute the minimal polynomial for the corresponding field extension. We do this computation for low order and recover this way known algebraic solutions of the Painlevé VI equation and of the classical Lamé equation. In the final section we compare our moduli space with the classical one due to Okamoto.
Dans cet article, nous étudions les connexions de rang deux sur la droite projective ayant quatre pôles simples avec exposants locaux prescrits 1/4 et que nous appelons connexions de Lamé. Cette famille a été maintes fois étudiée dans la littérature. Le groupe de Galois d’une telle connexion n’est jamais maximal : il est ou bien dihédral (fini ou infini), ou bien réductible. Nous produisons un espace de modules explicite pour les connexions de Lamé définies sur le fibré trivial et calculons le lieu algébrique des connexions réductibles. Les connexions de Lamé irréductibles sont obtenues comme images directes sur la droite des connexions régulières de rang définies sur le revêtement double elliptique ; les connexions dont le groupe de Galois est fini sont connues pour être reliées aux points d’ordre fini sur la courbe elliptique. Au cours de l’article, nous produisons un algorithme performant pour calculer le lieu des connexions de Lamé dont le groupe de Galois est fini, d’ordre donné. Nous donnons un autre algorithme calculant de manière efficace le polynôme minimal de l’extension de corps correspondante. Le calcul est effectué pour les ordres petits et nous retrouvons ainsi quelques solutions connues de l’équation de Painlevé VI et de l’équation classique de Lamé. Dans la dernière section, nous comparons l’espace des modules construit avec l’analogue classique dû à Okamoto.
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Frank Loray; Marius van der Put; Felix Ulmer. The Lamé family of connections on the projective line. Annales de la Faculté des sciences de Toulouse : Mathématiques, Serie 6, Volume 17 (2008) no. 2, pp. 371-409. doi : 10.5802/afst.1187. https://afst.centre-mersenne.org/articles/10.5802/afst.1187/
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