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Maximal subextensions of plurisubharmonic functions
Annales de la Faculté des sciences de Toulouse : Mathématiques, Série 6, Tome 20 (2011) no. S2, pp. 101-122.

Dans notre travail précédent [CKZ], nous avions démontré que toute fonction plurisousharmonique sur un ouvert hyperconvexe borné de n ayant des valeurs au bord nulles en un sens assez général possède une sous-extension plurisousharmonique dans un domaine hyperconvexe plus grand. D’une façon plus générale, étant donnée une fonction quasi-plurisousharmonique ϕ sur un domaine quasi-hyperconvex DX d’une variété kählerienne compacte (X,ω), de valeurs au bord nulle en un sens généralisé et ayant une mesure de Monge-Ampère bien définie sur D et vérifiant D (ω+dd c ϕ) n X ω n , nous démontrons que ϕ admet une sousextension ϕ ˜ à la variété X toute entière. Si de plus (ω+dd c ϕ) n ne charge pas les ensembles pluripolaires de D, la sousextension maximale possède une mesure de Monge-Ampère globale bien définie sur X dont nous étudions la mesure de Monge-Ampère. De plus nous donnons un contrôle précis en terme d’energie de Monge-Ampère pondérée de la sousextension maximale en fonction de l’energie pondérée de la donnée ϕ. Enfin nous donnons un exemple dans 2 qui montre qu’en général la sousextension maximale n’a pas une mesure de Monge-Ampère globale bien définie si la mesure de Monge-Ampère de la fonction donnée concentre de la masse sur un disque analytique.

In our earlier paper [CKZ], we proved that any plurisubharmonic function on a bounded hyperconvex domain in n with zero boundary values in a quite general sense, admits a plurisubharmonic subextension to a larger hyperconvex domain. Here we study important properties of its maximal subextension and give informations on its Monge-Ampère measure. More generally, given a quasi-plurisubharmonic function ϕ on a given quasi-hyperconvex domain DX of a compact Kähler manifold (X,ω), with well defined Monge-Ampère measure such that D (ω+dd c ϕ) n X ω n , we prove that ϕ admits a global quasi-plurisubharmonic subextension ϕ ˜ to the whole manifold X. If moreover (ω+dd c ϕ) n puts no mass on pluripolar sets of D, the maximal subextension is shown to have a well defined global Monge-Ampère measure on X. Moreover we give a good control on the weigthed energy of the subextension in terms of the weigthed energy of the original function. Finally we provide an exemple in 2 which shows that in general the maximal subextension do not have a well defined Monge-Ampère measure on 2 if the original function concentrates some mass in an analytic disc.

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     author = {U. Cegrell and S. Ko{\l}odziej and A. Zeriahi},
     title = {Maximal subextensions of plurisubharmonic functions},
     journal = {Annales de la Facult\'e des sciences de Toulouse : Math\'ematiques},
     pages = {101--122},
     publisher = {Universit\'e Paul Sabatier, Toulouse},
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U. Cegrell; S. Kołodziej; A. Zeriahi. Maximal subextensions of plurisubharmonic functions. Annales de la Faculté des sciences de Toulouse : Mathématiques, Série 6, Tome 20 (2011) no. S2, pp. 101-122. doi : 10.5802/afst.1307. https://afst.centre-mersenne.org/articles/10.5802/afst.1307/

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