Courbes multiples primitives et déformations de courbes lisses

Jean-Marc Drézet

doi:10.5802/afst.1368

Jean-Marc Drézet ¹

¹ Institut de Mathématiques de Jussieu, Case 247, 4 place Jussieu, F-75252 Paris, France

Annales de la Faculté des sciences de Toulouse : Mathématiques, Serie 6, Volume 22 (2013) no. 1, pp. 133-154.

Abstract
Abstract

A primitive multiple curve is a Cohen-Macaulay scheme $Y$ over $ℂ$ such that $C = Y_{r e d}$ is a smooth curve, and that $Y$ can be locally embedded in a smooth surface. Let $T$ be a smooth curve and $t_{0} \in T$ . Let $𝒟 ⟶ T$ be a flat family of projective smooth irreducible curves, and $C = 𝒟_{t_{0}}$ . Then the $n$ -th infinitesimal neighbourhood of $C$ in $𝒟$ is a primitive multiple curve $C_{n}$ of multiplicity $n$ , and the ideal sheaf $ℐ_{C}$ of $C$ in $C_{n}$ is the trivial line bundle on the induced curve $C_{n - 1}$ of multiplicity $n - 1$ . Conversely, we prove that every projective primitive multiple curve $Y = C_{n}$ such that $ℐ_{C}$ is the trivial line bundle on $C_{n - 1}$ can be obtained in this way.

Une courbe multiple primitive est une variété de Cohen-Macaulay $Y$ telle que $C = Y_{r e d}$ soit une courbe lisse irréductible, et que $Y$ puisse être localement plongée dans une surface lisse. Soient $T$ une courbe lisse et $t_{0} \in T$ . Soient $𝒟 ⟶ T$ une famille plate de courbes lisses irréductibles, et $C = 𝒟_{t_{0}}$ . Alors le $n$ -ième voisinage infinitésimal de $C$ dans $𝒟$ est une courbe multiple primitive de multiplicité $n$ , et le faisceau d’idéaux $ℐ_{C}$ de $C$ dans $C_{n}$ est le fibré trivial sur la courbe induite $C_{n - 1}$ de multiplicité $n - 1$ . Réciproquement, on montre que toute courbe multiple primitive $Y = C_{n}$ de multiplicité $n$ telle que $ℐ_{C}$ soit trivial sur $C_{n - 1}$ peut être construite de cette façon.

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DOI: 10.5802/afst.1368

Author's affiliations:

Jean-Marc Drézet ¹

¹ Institut de Mathématiques de Jussieu, Case 247, 4 place Jussieu, F-75252 Paris, France

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Jean-Marc Drézet. Courbes multiples primitives et déformations de courbes lisses. Annales de la Faculté des sciences de Toulouse : Mathématiques, Serie 6, Volume 22 (2013) no. 1, pp. 133-154. doi : 10.5802/afst.1368. https://afst.centre-mersenne.org/articles/10.5802/afst.1368/

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