In this paper, we extend the results of Fusco and Oliva [8], who have proved the transversality of the intersection of the stable and unstable manifolds of hyperbolic periodic orbits, for the dynamical system generated by the equation , defined on an open set of , where is a cyclic Jacobi matrix. This result is obtained by using the number of sign changes of , which is a monotone functional along the trajectories. First we extend this automatic transversality result to the intersection of stable and unstable manifolds of two hyperbolic critical elements if there are not two equilibria with same even Morse index. Secondly, we prove that generically with respect to the non-linearity , the intersection of stable and unstable manifolds of two equilibria with same even Morse index is empty. Then we show that these systems are generically Morse-Smale if in addition the non-linearity is dissipative.
Dans cet article, nous généralisons les résultats de Fusco et Oliva [8], qui ont montré la transversalité de l’intersection des variétés stable et instable associées à des orbites périodiques hyperboliques, pour un système dynamique de la forme (sur un ouvert de ) où est une matrice de Jacobi cyclique. Dans [8], cette propriété est obtenue en utilisant le nombre de changements de signe de qui est une fonctionnelle monotone le long des orbites. Tout d’abord, nous étendons ce résultat de transversalité automatique à l’intersection des variétés stable et instable de deux éléments critiques hyperboliques si ceux-ci ne sont pas deux équilibres de même indice de Morse pair. Ensuite, nous montrons que génériquement en la non-linéarité , l’intersection des variétés stable et instable de deux équilibres de même indice de Morse pair est vide. Enfin nous montrons que ces systèmes sont génériquement de type Morse-Smale si, en outre, la non-linéarité est dissipative.
@article{AFST_2013_6_22_2_377_0,
author = {Maxime Percie du Sert},
title = {Une classe de syst\`emes dynamiques monotones g\'en\'eriquement {Morse-Smale}},
journal = {Annales de la Facult\'e des sciences de Toulouse : Math\'ematiques},
pages = {377--419},
publisher = {Universit\'e Paul Sabatier, Institut de Math\'ematiques},
address = {Toulouse},
volume = {6e s{\'e}rie, 22},
number = {2},
year = {2013},
doi = {10.5802/afst.1376},
zbl = {06190683},
language = {fr},
url = {https://afst.centre-mersenne.org/articles/10.5802/afst.1376/}
}
TY - JOUR AU - Maxime Percie du Sert TI - Une classe de systèmes dynamiques monotones génériquement Morse-Smale JO - Annales de la Faculté des sciences de Toulouse : Mathématiques PY - 2013 SP - 377 EP - 419 VL - 22 IS - 2 PB - Université Paul Sabatier, Institut de Mathématiques PP - Toulouse UR - https://afst.centre-mersenne.org/articles/10.5802/afst.1376/ DO - 10.5802/afst.1376 LA - fr ID - AFST_2013_6_22_2_377_0 ER -
%0 Journal Article %A Maxime Percie du Sert %T Une classe de systèmes dynamiques monotones génériquement Morse-Smale %J Annales de la Faculté des sciences de Toulouse : Mathématiques %D 2013 %P 377-419 %V 22 %N 2 %I Université Paul Sabatier, Institut de Mathématiques %C Toulouse %U https://afst.centre-mersenne.org/articles/10.5802/afst.1376/ %R 10.5802/afst.1376 %G fr %F AFST_2013_6_22_2_377_0
Maxime Percie du Sert. Une classe de systèmes dynamiques monotones génériquement Morse-Smale. Annales de la Faculté des sciences de Toulouse : Mathématiques, Serie 6, Volume 22 (2013) no. 2, pp. 377-419. doi : 10.5802/afst.1376. https://afst.centre-mersenne.org/articles/10.5802/afst.1376/
[1] Abraham (R.), Robbin (J.).— Transversal mappings and flows, W. A. Benjamin, Inc (1967). | MR | Zbl
[2] Angement (S. B.).— The zero set of a solution of a parabolic equation, J. reine angew. Math. 390, p. 79-96 (1988). | MR | Zbl
[3] Bendixson (I.).— Sur les courbes définies par des équations différentielles, Acta Mathematica No. 24, p. 1-88 (1901). | MR
[4] Brunovský (B.), Poláčik (P.).— The Morse-Smale structure of a generic reaction-diffusion equation in higher space diemension, J. differential equations 135, p. 129-181 (1997). | MR | Zbl
[5] Czaja (R.), Rocha (C.).— Transversality in scalar reaction-diffusion equations on a circle, J. Differential Equations 245, p. 692-721 (2008). | MR | Zbl
[6] Fiedler (B.), Mallet-Paret (J.).— A Poincaré-Bendixson theorem for scalar reaction-diffusion equations, Arch. Rational Mech. Analysis 107, p. 325-345 (1989). | MR | Zbl
[7] Fusco (G.), Oliva (W. M.).— Jacobi matrices and transversality, Proc. R. Soc. Ed. 109A, p. 231-243 (1988). | MR | Zbl
[8] Fusco (G.), Oliva (W. M.).— Transversality between invariant manifolds of periodic orbits for a class of monotone dynamical systems, Journal of Dynamics and Differential Equations 2, p. 1-17 (1988). | MR | Zbl
[9] Hirsh (M.).— Systems of differential equations wich are competitive or cooperative I : Limit sets. SIAM J. Math. Anal. 13(2), p. 167-179 (1982). | MR | Zbl
[10] Hirsh (M.).— Systems of differential equations wich are competitive or cooperative II : Convergence almost everywhere. SIAM J. Math. Anal. 16(3), p. 423-439 (1985). | MR | Zbl
[11] Hirsh (M.).— Systems of differential equations wich are competitive or cooperative III : Competing Species, Nonlynearity 1, p. 51-71 (1988a). | Zbl
[12] Joly (R.), Raugel (G.).— Generic hyperbolicity of equilibria and periodic orbits of the parabolic equation on the circle, Trans. Amer. Math. Soc. 362, p. 5189-5211 (2010). | MR | Zbl
[13] Joly (R.), Raugel (G.).— Generic Morse-Smale property for the parabolic equation on the circle, Ann. I. H. Poincaré – 27, p. 1397-1440 (2010). | Numdam | MR | Zbl
[14] Joly (R.), Raugel (G.).— A striking correspondence between the dynamics generated by the vector fields and by the scalar parabolic equations, Confluentes Mathematici, Vol 3, No. 3, p. 471-493 (2011). | MR | Zbl
[15] Kupka (I.).— Contribution à la théorie des champs génériques, Contributions to Differential Equations no2 (1963), p. 457-484. Addendum and corrections, ibid. No. 3, p. 411-420 (1964). | MR | Zbl
[16] Palis (J.), De Mello (W.).— Geometric theory of dynamical systems – An introduction, Springer-Verlag, Berlin (1982). | MR | Zbl
[17] Peixoto (M. M.).— Structural stability on two-dimensional manifolds, Topology No. 1, p. 101-120 (1962). | MR | Zbl
[18] Peixoto (M. M.).— On an approximation theorem of Kupka and Smale, J. differential equations 3, p. 214-227 (1967). | MR | Zbl
[19] Poincaré (H.).— Sur les courbes définies par une équation différentielle, Oeuvres, 1, Paris.
[20] Robbin (J. W.).— Stable manifolds of semi-hyperbolic fixed points, Illinois J. Math. 15, p. 595-609 (1971). | MR | Zbl
[21] Smale (S.).— Stable manifolds for differential equations and diffeomorphisms, Annali della Scuola Normale Superiore di Pisa No. 17, p. 97-116 (1963). | Numdam | MR | Zbl
[22] Smale (S.).— Diffeomorphisms with many periodic points, Differential and Combinatorial Topology (A Symposium in Honor of Morston Morse), Princeton Univ. Press, Princeton, NJ, p. 63-80 (1965). | MR | Zbl
[23] Smith (H.).— Monotone dynamical systems : An introduction to the theory of competitive and cooperative systems Mathematical Surveys and Monographs, Vol. 41 (1995). | MR | Zbl
Cited by Sources: