Solution formelle Gevrey d’équations linéaires à singularité non régulière

Patrice Pongérard; Teddy Wong-Yim-Chéong

doi:10.5802/afst.1789

Patrice Pongérard ¹; Teddy Wong-Yim-Chéong ¹

¹ Université de La Réunion, EA 4518, 1 allée des aigues-marines, 97487 Saint-Denis cedex, France

Annales de la Faculté des sciences de Toulouse : Mathématiques, Serie 6, Volume 33 (2024) no. 4, pp. 897-913.

Abstract
Résumé

This article concerns singular linear partial differential equations with holomorphic coefficients in a neighborhood of the origin of $ℂ_{t} \times ℂ_{x}^{n}$ . The point $t = 0$ is singular by operators of the form ${(t^{a} D_{t})}^{l}$ where $a$ is an integer $\geq 2$ , $l \in ℕ$ . We only assume that the characteristic polynomial admits non-zero roots ; then we establish existence and uniqueness of a formal power series solution that is Gevrey in $t$ . The Gevrey index depends on $a$ , on the order of the derivatives in $x$ and on the writing of the coefficients with respect to $t$ . The problem is turned into the form $(I - T) u = v$ and we show that operator $T$ is an endomorphism of norm $< 1$ in a Banach space defined by a suitable majorant series.

Cet article concerne des équations aux dérivées partielles linéaires singulières à coefficients holomorphes au voisinage de l’origine de $ℂ_{t} \times ℂ_{x}^{n}$ . La singularité au point $t = 0$ provient d’opérateurs de la forme ${(t^{a} D_{t})}^{l}$ où $a$ est un entier $\geq 2$ , $l \in ℕ$ . Les racines du polynôme caractéristique étant supposées non nulles, on établit l’existence et l’unicité d’une solution formelle Gevrey en $t$ . L’indice de Gevrey dépend de $a$ , de l’ordre des dérivées en $x$ et de l’écriture des coefficients par rapport à $t$ . Le problème est mis sous la forme $(I - T) u = v$ et on montre que l’opérateur $T$ est un endomorphisme de norme $< 1$ dans un espace de Banach défini par une série majorante convenable.

Received: 2023-02-10
Accepted: 2023-04-21
Published online: 2025-02-03

DOI: 10.5802/afst.1789

Classification: 35C10, 35A01, 35A02, 35A20, 35A21
Keywords: Singular PDEs with holomorphic coefficients, Gevrey order of formal power series solution, majorant series

Author's affiliations:

Patrice Pongérard ¹; Teddy Wong-Yim-Chéong ¹

¹ Université de La Réunion, EA 4518, 1 allée des aigues-marines, 97487 Saint-Denis cedex, France

License:

CC-BY 4.0

Copyrights: The authors retain unrestricted copyrights and publishing rights

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Patrice Pongérard; Teddy Wong-Yim-Chéong. Solution formelle Gevrey d’équations linéaires à singularité non régulière. Annales de la Faculté des sciences de Toulouse : Mathématiques, Serie 6, Volume 33 (2024) no. 4, pp. 897-913. doi : 10.5802/afst.1789. https://afst.centre-mersenne.org/articles/10.5802/afst.1789/

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