Feuilleter
no. 5
Quantum $K$-theory of projective spaces and confluence of $q$-difference equations
[$K$-théorie quantique des espaces projectifs et confluence des équations aux $q$-différence]
Alexis Roquefeuil1
1 Univ Angers, CNRS, LAREMA, SFR MATHSTIC, F-49000 Angers, France
Annales de la Faculté des sciences de Toulouse : Mathématiques, Série 6, Tome 34 (2025) no. 5, pp. 1219-1257

Givental’s $K$-theoretical $J$-function can be used to reconstruct genus zero $K$-theoretical Gromov–Witten invariants. We view this function as a fundamental solution of a $q$-difference system. In the case of projective spaces, we show that we can use the confluence of $q$-difference systems to obtain the cohomological $J$-function from its $K$-theoretic analogue. This provides another point of view to one of the statements of Givental–Tonita’s quantum Hirzebruch–Riemann–Roch theorem. Furthermore, we compute connection numbers in the equivariant $K$-theoretic setting.

La fonction $J$ de Givental $K$-théorique peut être utilisée pour reconstruire les invariants de Gromov–Witten $K$-théorique de genre 0. Cette fonction peut être vue comme une solution fondamentale d’un système d’équations aux $q$-différences. Dans le cas des espaces projectifs, nous montrons que la confluence des équations aux $q$-différences peut être utilisée pour obtenir la fonction $J$ cohomologique à partir de son analogue $K$-théorique. Ce procédé donne un autre point de vue à un des résultats contenu dans l’énoncé du théorème de Hirzebruch–Riemann–Roch quantique de Givental–Tonita. De plus, nous calculons les matrices de connexion dans le contexte de la $K$-théorie équivariante.

Reçu le :
Accepté le :
Publié le :
DOI : 10.5802/afst.1831
Classification : 14N35, 39A45, 53D45
Keywords: Gromov–Witten invariants, Quantum $K$-theory, Quantum $\mathcal{D}$-module, $q$-difference equations, Givental’s formalism
Mots-clés : Invariants de Gromov–Witten, $K$-théorie quantique, $\mathcal{D}$-module quantique, équations aux $q$-différences, formalisme de Givental

Alexis Roquefeuil 1

1 Univ Angers, CNRS, LAREMA, SFR MATHSTIC, F-49000 Angers, France
Licence : CC-BY 4.0
Droits d'auteur : Les auteurs conservent leurs droits 
@article{AFST_2025_6_34_5_1219_0,
     author = {Alexis Roquefeuil},
     title = {Quantum $K$-theory of projective spaces and confluence of $q$-difference equations},
     journal = {Annales de la Facult\'e des sciences de Toulouse : Math\'ematiques},
     pages = {1219--1257},
     year = {2025},
     publisher = {Universit\'e de Toulouse, Toulouse},
     volume = {Ser. 6, 34},
     number = {5},
     doi = {10.5802/afst.1831},
     language = {en},
     url = {https://afst.centre-mersenne.org/articles/10.5802/afst.1831/}
}
TY  - JOUR
AU  - Alexis Roquefeuil
TI  - Quantum $K$-theory of projective spaces and confluence of $q$-difference equations
JO  - Annales de la Faculté des sciences de Toulouse : Mathématiques
PY  - 2025
SP  - 1219
EP  - 1257
VL  - 34
IS  - 5
PB  - Université de Toulouse, Toulouse
UR  - https://afst.centre-mersenne.org/articles/10.5802/afst.1831/
DO  - 10.5802/afst.1831
LA  - en
ID  - AFST_2025_6_34_5_1219_0
ER  - 
%0 Journal Article
%A Alexis Roquefeuil
%T Quantum $K$-theory of projective spaces and confluence of $q$-difference equations
%J Annales de la Faculté des sciences de Toulouse : Mathématiques
%D 2025
%P 1219-1257
%V 34
%N 5
%I Université de Toulouse, Toulouse
%U https://afst.centre-mersenne.org/articles/10.5802/afst.1831/
%R 10.5802/afst.1831
%G en
%F AFST_2025_6_34_5_1219_0
Alexis Roquefeuil. Quantum $K$-theory of projective spaces and confluence of $q$-difference equations. Annales de la Faculté des sciences de Toulouse : Mathématiques, Série 6, Tome 34 (2025) no. 5, pp. 1219-1257. doi: 10.5802/afst.1831

[1] Shunya Adachi The q-Borel sum of divergent basic hypergeometric series r φ s (a;b;q,x), SIGMA, Symmetry Integrability Geom. Methods Appl., Volume 15 (2019), 016, 12 pages | DOI | MR | Zbl

[2] Kai A. Behrend; Barbara Fantechi The intrinsic normal cone, Invent. Math., Volume 128 (1997) no. 1, pp. 45-88 | DOI | MR | Zbl

[3] Song Heng Chan On Sears’s general transformation formula for basic hypergeometric series, Ramanujan J., Volume 20 (2009) no. 1, pp. 69-79 | DOI | MR | Zbl

[4] Giordano Cotti; Boris Dubrovin; Davide Guzzetti Helix Structures in Quantum Cohomology of Fano Varieties (2019) | arXiv

[5] David A. Cox; Sheldon Katz Mirror symmetry and algebraic geometry, Mathematical Surveys and Monographs, 68, American Mathematical Society, 1999 | MR | DOI | Zbl

[6] Lucia Di Vizio; Jean-Pierre Ramis; Jacques Sauloy; Changgui Zhang Équations aux q-différences, Gaz. Math., Soc. Math. Fr., Volume 96 (2003), pp. 20-49 | MR | Zbl

[7] Thomas Dreyfus Confluence of meromorphic solutions of q-difference equations, Ann. Inst. Fourier, Volume 65 (2015) no. 2, pp. 431-507 | Numdam | DOI | MR | Zbl

[8] Thomas Dreyfus; Anton Eloy q-Borel–Laplace summation for q-difference equations with two slopes, J. Difference Equ. Appl., Volume 22 (2016) no. 10, pp. 1501-1511 | DOI | MR | Zbl

[9] Alexander B. Givental Equivariant Gromov–Witten invariants, Int. Math. Res. Not., Volume 1996 (1996) no. 13, pp. 613-663 | DOI | MR | Zbl

[10] Alexander B. Givental Permutation-equivariant quantum K-theory II. Fixed point localization (2015) | arXiv

[11] Alexander B. Givental Permutation-equivariant quantum K-theory V. Toric q-hypergeometric functions (2015) | arXiv

[12] Alexander B. Givental Permutation-equivariant quantum K-theory IX. Quantum Hirzebruch–Riemann–Roch in all genera (2017) | arXiv | Zbl

[13] Alexander B. Givental; Yuan-Pin Lee Quantum K-theory on flag manifolds, finite-difference Toda lattices and quantum groups, Invent. Math., Volume 151 (2003) no. 1, pp. 193-219 | DOI | MR | Zbl

[14] Alexander B. Givental; Valentin Tonita The Hirzebruch–Riemann–Roch theorem in true genus-0 quantum K-theory, Symplectic, Poisson, and noncommutative geometry (Mathematical Sciences Research Institute Publications), Volume 62, Cambridge University Press, 2014, pp. 43-91 | DOI | MR | Zbl

[15] Charlotte Hardouin; Jacques Sauloy; Michael F. Singer Galois theories of linear difference equations: an introduction, Mathematical Surveys and Monographs, 211, American Mathematical Society, 2016 (papers from the courses held at the CIMPA Research School in Santa Marta, July 23–August 1, 2012) | DOI | MR | Zbl

[16] Hiroshi Iritani; Todor Milanov; Valentin Tonita Reconstruction and convergence in quantum K-theory via difference equations, Int. Math. Res. Not., Volume 2015 (2015) no. 11, pp. 2887-2937 | DOI | MR | Zbl

[17] Adeel A. Khan Virtual fundamental classes of derived stacks I (2019) | arXiv | Zbl

[18] Maxim Kontsevich Enumeration of rational curves via torus actions, The moduli space of curves (Texel Island, 1994) (Progress in Mathematics), Volume 129, Birkhäuser, 1995, pp. 335-368 | DOI | MR | Zbl

[19] Yuan-Pin Lee Quantum K-theory. I. Foundations, Duke Math. J., Volume 121 (2004) no. 3, pp. 389-424 | DOI | MR | Zbl

[20] Todor Milanov; Alexis Roquefeuil Confluence in quantum K-theory of weak Fano manifolds and q-oscillatory integrals for toric manifolds (2021) | arXiv

[21] David Mumford Tata lectures on theta. I, Progress in Mathematics, 28, Birkhäuser, 1983 (with the assistance of C. Musili, M. Nori, E. Previato and M. Stillman) | DOI | MR | Zbl

[22] Jean-Pierre Ramis; Jacques Sauloy The q-analogue of the wild fundamental group and the inverse problem of the Galois theory of q-difference equations, Ann. Sci. Éc. Norm. Supér. (4), Volume 48 (2015) no. 1, pp. 171-226 | DOI | MR | Zbl | Numdam

[23] Alexis Roquefeuil Confluence of quantum K-theory to quantum cohomology for projective spaces, Ph. D. Thesis, Université d’Angers, Angers, France (2019) (available online at https://tel.archives-ouvertes.fr/tel-02447681)

[24] Jacques Sauloy Systèmes aux q-différences singuliers réguliers: classification, matrice de connexion et monodromie, Ann. Inst. Fourier, Volume 50 (2000) no. 4, pp. 1021-1071 | DOI | MR | Zbl | Numdam

[25] Lucy Joan Slater Generalized hypergeometric functions, Cambridge University Press, 1966 | MR | Zbl

[26] Yaoxiong Wen Difference equation for quintic 3-fold (2020) | arXiv

[27] Changgui Zhang Transformations de q-Borel–Laplace au moyen de la fonction thêta de Jacobi, C. R. Math., Volume 331 (2000) no. 1, pp. 31-34 | DOI | MR | Zbl

[28] Changgui Zhang Une sommation discrète pour des équations aux q-différences linéaires et à coefficients analytiques: théorie générale et exemples, Differential equations and the Stokes phenomenon, World Scientific, 2002, pp. 309-329 | DOI | MR | Zbl

Cité par Sources :