[Propriétés arithmétiques des coefficients de Taylor des séries entières différentiellement algébriques]
Let $f=\sum _{n=0}^\infty f_n x^n \in \bar{\mathbb{Q}}\llbracket x\rrbracket $ be a solution of an algebraic differential equation $Q(x,y(x), \dots , y^{(k)}(x))=0$, where $Q$ is a multivariate polynomial with coefficients in $\bar{\mathbb{Q}}$. The sequence $(f_n)_{n\ge 0}$ satisfies a non-linear recurrence, whose expression involves a polynomial $M$ of degree $s$. When the equation is linear, $M$ is its indicial polynomial at the origin. We show that when $M$ is split over $\mathbb{Q}$, there exist two positive integers $\delta $ and $\nu $ such that the denominator of $f_n$ divides $\delta ^{n+1}(\nu n+\nu )!^{2s}$ for all $n\ge 0$, generalizing a well-known property when the equation is linear. This proves in this case a strong form of a conjecture of Mahler that Popken’s lower bound $n^{-\mathcal{O}(n \log (n))}$ for $\vert f_n\vert \ne 0$ is not optimal. This also enables us to make Sibuya–Sperber’s bound $\vert f_n\vert _v\le e^{\mathcal{O}(n)}$, for all finite places $v$ of $\bar{\mathbb{Q}}$, explicit in this case. Our method is completely effective and rests upon a detailed $p$-adic analysis of the above mentioned non-linear recurrences. Finally, we present various examples of differentially algebraic functions for which the associated polynomial $M$ is split over $\mathbb{Q}$, among which are Weierstraß’ elliptic $\wp $ function, solutions of Painlevé equations, and Lagrange’s solution to Kepler’s equation.
Soit $f=\sum _{n=0}^\infty f_n x^n \in \bar{\mathbb{Q}}\llbracket x\rrbracket $ une solution d’une équation différentielle algébrique $Q(x,y(x), \dots , y^{(k)}(x))=0$, où $Q$ est un polynôme en plusieurs indeterminées à coefficients dans $\bar{\mathbb{Q}}$. La suite $(f_n)_{n\ge 0}$ vérifie une récurrence non-linéaire, dont l’expression implique un polynôme $M$ de degré $s$. Lorsque l’équation est linéaire, $M$ est son polynôme indiciel à l’origine. Nous montrons que lorsque $M$ est scindé sur $\mathbb{Q}$, il existe deux entiers strictement positifs $\delta $ et $\nu $ tels que le dénominateur de $f_n$ divise $\delta ^{n+1}(\nu n+\nu )!^{2s}$ pour tout $n\ge 0$, généralisant ainsi une propriété bien connue quand l’équation est linéaire. Cela prouve dans ce cas une forme forte d’une conjecture de Mahler affirmant que la minoration de Popken $n^{-\mathcal{O}(n \log (n))}$ pour $\vert f_n\vert \ne 0$ n’est pas optimale. Cela nous permet également de rendre explicite dans ce cas la majoration de Sibuya–Sperber $\vert f_n\vert _v\le e^{\mathcal{O}(n)}$, valable pour toute place finie $v$ de $\bar{\mathbb{Q}}$. Notre méthode est complètement effective et repose sur une analyse $p$-adique fine des récurrences non-linéaires susmentionnées. Finalement, nous présentons plusieurs exemples de fonctions différentiellement algébriques pour lesquelles le polynôme $M$ associé est scindé sur $\mathbb{Q}$, dont la fonction elliptique $\wp $ de Weierstraß, les solutions de certaines équations de Painlevé et la solution de Lagrange de l’équation de Kepler.
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Keywords: non-linear recurrences, differentially algebraic power series, Gregory coefficients, Bernoulli numbers, Weierstraß $\wp $ function, Painlevé equations, elliptic modular invariant, Kepler’s equation, dilogarithm
Christian Krattenthaler 1 ; Tanguy Rivoal 2
CC-BY 4.0
Christian Krattenthaler; Tanguy Rivoal. Arithmetic properties of the Taylor coefficients of differentially algebraic power series. Annales de la Faculté des sciences de Toulouse : Mathématiques, Série 6, Tome 35 (2026) no. 3, pp. 617-650. doi: 10.5802/afst.1859
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