[Amibes généralisées aux sous-variétés de $\mathrm{GL}_n(\mathbb{C})$]
The paper addresses the problem of generalizing theory of amoebas from tropical geometry in algebraic torus to other reductive algebraic groups. The logarithm of singular values of a matrix has been suggested as an analogue of the logarithm map on the algebraic torus $(\mathbb{C}^*)^n$ for the general linear group $\mathrm{GL}_n(\mathbb{C})$. We call the image of a subvariety under this logarithm map a matrix amoeba. In this paper, we establish the main properties of these matrix amoebas, in particular, extending the notion of Ronkin function to this setting. For hypersurfaces, we show how to describe the asymptotic directions of the matrix amoebas using a notion of Newton polytope and study the relationship between matrix amoebas and spherical tropical varieties. Our matrix amoebas should be considered as the Archimedean version of the spherical tropicalization of Tevelev–Vogiannou for the variety $\mathrm{GL}_n(\mathbb{C})$ regarded as a spherical homogeneous space for the left-right action of $\mathrm{GL}_n(\mathbb{C}) \times \mathrm{GL}_n(\mathbb{C})$.
Cet article a pour but de généraliser la théorie des amibes (en géométrie tropicale) sur les tores algébriques à d’autres groupes algébriques réductifs. Le logarithme des valeurs singulières d’une matrice est proposé comme analogue de l’application logarithme sur un tore algébrique $(\mathbb{C}^*)^n$ pour le groupe général linéaire $\mathrm{GL}_n(\mathbb{C})$. On appelle amibe de matrices l’image d’une sous-variété par cette application. Dans cet article, on montre les propriétés principales de ces amibes de matrices, en particulier en généralisant la notion de fonction de Ronkin à ce contexte. Pour les hypersurfaces, on montre comment décrire les directions asymptotiques des amibes de matrices grâce à une généralisation du polytope de Newton et on étudie la relation entre les amibes de matrices et les variétés tropicales sphériques. Ces amibes de matrices devraient être considérées comme la version archimédienne de la tropicalisation sphérique de Tevelev–Vogiannou pour la variété $\mathrm{GL}_n(\mathbb{C})$ vue comme un espace homogène sphérique pour l’action à gauche et à droite de $\mathrm{GL}_n(\mathbb{C}) \times \mathrm{GL}_n(\mathbb{C})$.
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Keywords: amoebas, spherical varieties, tropical geometry
Mots-clés : amibes, variétés sphériques, géométrie tropicale
Rémi Delloque 1 ; Kiumars Kaveh 2
CC-BY 4.0
Rémi Delloque; Kiumars Kaveh. Generalized amoebas for subvarieties of $\mathrm{GL}_n(\mathbb{C})$. Annales de la Faculté des sciences de Toulouse : Mathématiques, Série 6, Tome 35 (2026) no. 3, pp. 651-695. doi: 10.5802/afst.1860
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