Résolution des fibrés généraux stables de rang $2$ sur $\mathbb{P}^3$ de classes de Chern $c_1 = -1, c_2 = 2p \ge 6$ : I

Olivier Rahavandrainy

doi:10.5802/afst.1242

Résolution des fibrés généraux stables de rang

2

sur

ℙ^{3}

de classes de Chern

c_{1} = - 1, c_{2} = 2 p \geq 6

: I

Olivier Rahavandrainy ¹

¹ Département de Mathématiques U F R Sciences et Techniques 6, Avenue Le Gorgeu - C.S. 93837 29238 Brest Cedex 3

Annales de la Faculté des sciences de Toulouse : Mathématiques, Serie 6, Volume 19 (2010) no. 2, pp. 231-267.

Abstract
Abstract

Let $M (c_{1}, c_{2})$ be the moduli space of stable vector bundles of rank $2$ on $ℙ_{k}^{3}$ , with Chern classes $c_{1}, c_{2}$ , where $k$ is an algebraically closed field of arbitrary characteristic. If either ( $c_{1} = 0, c_{2} > 0$ ) or ( $c_{1} = - 1, c_{2} = 2 p \geq 6$ ), it is shown in [7] and [9] that $M (c_{1}, c_{2})$ has an irreducible component $Ir (c_{1}, c_{2})$ and the generic point $ℱ (c_{1}, c_{2})$ of $Ir (c_{1}, c_{2})$ has a natural cohomology. In [16] we calculate the minimal free resolution of $ℱ (0, c_{2})$ . We want to determine, in this paper, the $ℱ (- 1, c_{2})$ ’s one if $c_{2} > \frac{(v + 2) (2 v^{2} + 3 v - 1)}{6 v + 7},$ where $v$ is the least integer such that $h^{0} (ℱ (v)) > 0$ . By standard method ([16]), we can reduce our problem to rank maximal problems and use the “méthode d’Horace” ([11]).

On considère l’espace de modules $M (c_{1}, c_{2})$ des fibrés stables de rang $2$ sur $ℙ_{k}^{3}$ , de classes de Chern $c_{1}, c_{2}$ , $k$ étant un corps algébriquement clos de caractéristique quelconque. Si ( $c_{1} = 0, c_{2} > 0$ ) ou ( $c_{1} = - 1, c_{2} = 2 p \geq 6$ ), on sait ([7], [9]) que $M (c_{1}, c_{2})$ a une composante irréductible dont le point générique $ℱ (c_{1}, c_{2})$ a la cohomologie naturelle. Nous avons calculé ([16]) la résolution minimale de $ℱ (0, c_{2})$ . Dans cet article, nous voulons déterminer celle de $ℱ (- 1, c_{2})$ si $c_{2} > \frac{(v + 2) (2 v^{2} + 3 v - 1)}{6 v + 7},$ où $v$ est le plus petit entier tel que $h^{0} (ℱ (v)) > 0$ . Par un procédé standard rappelé dans [16], on se ramène à des problèmes de rang maximum qui sont traités par la méthode d’Horace ([11]).

MR Zbl

DOI: 10.5802/afst.1242

Author's affiliations:

Olivier Rahavandrainy ¹

¹ Département de Mathématiques U F R Sciences et Techniques 6, Avenue Le Gorgeu - C.S. 93837 29238 Brest Cedex 3

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Olivier Rahavandrainy. Résolution des fibrés généraux stables de rang $2$ sur $\mathbb{P}^3$ de classes de Chern $c_1 = -1, c_2 = 2p \ge 6$ : I. Annales de la Faculté des sciences de Toulouse : Mathématiques, Serie 6, Volume 19 (2010) no. 2, pp. 231-267. doi : 10.5802/afst.1242. https://afst.centre-mersenne.org/articles/10.5802/afst.1242/

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