Analytic continuation of fundamental solutions to differential equations with constant coefficients

Christer O. Kiselman

doi:10.5802/afst.1310

Christer O. Kiselman ¹

¹ Uppsala University, Department of Mathematics, P. O. Box 480, SE-751 06 Uppsala, Sweden.

Annales de la Faculté des sciences de Toulouse : Mathématiques, Serie 6, Volume 20 (2011) no. S2, pp. 153-182.

Abstract
Abstract

If $P$ is a polynomial in $R^{n}$ such that $1 / P$ integrable, then the inverse Fourier transform of $1 / P$ is a fundamental solution $E_{P}$ to the differential operator $P (D)$ . The purpose of the article is to study the dependence of this fundamental solution on the polynomial $P$ . For $n = 1$ it is shown that $E_{P}$ can be analytically continued to a Riemann space over the set of all polynomials of the same degree as $P$ . The singularities of this extension are studied.

Si $P$ est un polynôme dans $R^{n}$ tel que $1 / P$ soit sommable, alors la transformée inverse de Fourier de $1 / P$ est une solution fondamentale $E_{P}$ de l’opérateur $P (D)$ . Le but de l’article est d’étudier la dépendence de cette solution fondamentale du polynôme $P$ . Pour $n = 1$ on démontre que $E_{P}$ peut être prolongée analytiquement à un espace de Riemann au-dessus de l’ensemble de tous les polynômes du même degré que $P$ . Les singularités de ce prolongement sont étudiées.

MR Zbl

DOI: 10.5802/afst.1310

Author's affiliations:

Christer O. Kiselman ¹

¹ Uppsala University, Department of Mathematics, P. O. Box 480, SE-751 06 Uppsala, Sweden.

@article{AFST_2011_6_20_S2_153_0,
     author = {Christer O. Kiselman},
     title = {Analytic continuation of fundamental solutions to differential equations with constant coefficients},
     journal = {Annales de la Facult\'e des sciences de Toulouse : Math\'ematiques},
     pages = {153--182},
     publisher = {Universit\'e Paul Sabatier, Institut de Math\'ematiques},
     address = {Toulouse},
     volume = {Ser. 6, 20},
     number = {S2},
     year = {2011},
     doi = {10.5802/afst.1310},
     mrnumber = {2858172},
     zbl = {1232.35028},
     language = {en},
     url = {https://afst.centre-mersenne.org/articles/10.5802/afst.1310/}
}

TY  - JOUR
AU  - Christer O. Kiselman
TI  - Analytic continuation of fundamental solutions to differential equations with constant coefficients
JO  - Annales de la Faculté des sciences de Toulouse : Mathématiques
PY  - 2011
SP  - 153
EP  - 182
VL  - 20
IS  - S2
PB  - Université Paul Sabatier, Institut de Mathématiques
PP  - Toulouse
UR  - https://afst.centre-mersenne.org/articles/10.5802/afst.1310/
DO  - 10.5802/afst.1310
LA  - en
ID  - AFST_2011_6_20_S2_153_0
ER  -

%0 Journal Article
%A Christer O. Kiselman
%T Analytic continuation of fundamental solutions to differential equations with constant coefficients
%J Annales de la Faculté des sciences de Toulouse : Mathématiques
%D 2011
%P 153-182
%V 20
%N S2
%I Université Paul Sabatier, Institut de Mathématiques
%C Toulouse
%U https://afst.centre-mersenne.org/articles/10.5802/afst.1310/
%R 10.5802/afst.1310
%G en
%F AFST_2011_6_20_S2_153_0

Christer O. Kiselman. Analytic continuation of fundamental solutions to differential equations with constant coefficients. Annales de la Faculté des sciences de Toulouse : Mathématiques, Serie 6, Volume 20 (2011) no. S2, pp. 153-182. doi : 10.5802/afst.1310. https://afst.centre-mersenne.org/articles/10.5802/afst.1310/

References
Cited by

[1] Agranovič M. S.— Partial differential equations with constant coefficients (Russian). Uspehi Mat. Nauk 16, No. 2, p. 27-94 (1961). | MR

[2] Enqvist Arne.— On fundamental solutions supported by a convex cone. Ark. mat. 12, p. 1-40 (1974). | MR | Zbl

[3] Hörmander Lars.— The Analysis of Linear Partial Differential Operators, II. Springer-Verlag (1983). | MR | Zbl

[4] Hörmander Lars.— The Analysis of Linear Partial Differential Operators, I. Springer-Verlag (1990). | MR | Zbl

Cited by Sources: