Browse issues
no. 2
Autour des groupes cycliquement ordonnés
G. Leloup1
1 Département de Mathématiques, Faculté des Sciences, avenue Olivier Messiaen, 72085 Le Mans Cedex, France
Annales de la Faculté des sciences de Toulouse : Mathématiques, Serie 6, Volume 21 (2012) no. 2, pp. 235-257.

Cyclically ordered groups were introduced by Rieger, but the usual reference is the book of Fuchs, which is redacted in english. Other authors worked on cyclically ordered groups, one can note that they appear in MV-algebras and in some groups of permutations of chains. The first part of this expository paper is dedicated to definitions and well known properties. The second part deals with the first order theory of cyclically ordered groups, which was studied by M. Giraudet and F. Lucas. The third section studies rings of formal power series with exponents in a cyclically ordered group, and in the last one we define cyclically valued groups and cyclically ultrametric spaces and we focus on their first order theory.

Ce travail commence par rappeler les définitions et les résultats de base concernant les groupes cycliquement ordonnés, et mentionner différents domaines où ils apparaissent. Ensuite sont exposés quelques développements, notamment sur la théorie du premier ordre, les séries formelles à exposants dans un groupe cycliquement ordonné, les groupes valués dont la valuation est à valeurs dans un ensemble cycliquement ordonné, et un analogue pour les espaces ultramétriques.

DOI: 10.5802/afst.1335

G. Leloup 1

1 Département de Mathématiques, Faculté des Sciences, avenue Olivier Messiaen, 72085 Le Mans Cedex, France 
@article{AFST_2012_6_21_2_235_0,
     author = {G. Leloup},
     title = {Autour des groupes cycliquement ordonn\'es},
     journal = {Annales de la Facult\'e des sciences de Toulouse : Math\'ematiques},
     pages = {235--257},
     publisher = {Universit\'e Paul Sabatier, Institut de Math\'ematiques},
     address = {Toulouse},
     volume = {6e s{\'e}rie, 21},
     number = {2},
     year = {2012},
     doi = {10.5802/afst.1335},
     mrnumber = {2978096},
     zbl = {1270.06012},
     language = {fr},
     url = {https://afst.centre-mersenne.org/articles/10.5802/afst.1335/}
}
TY  - JOUR
AU  - G. Leloup
TI  - Autour des groupes cycliquement ordonnés
JO  - Annales de la Faculté des sciences de Toulouse : Mathématiques
PY  - 2012
SP  - 235
EP  - 257
VL  - 21
IS  - 2
PB  - Université Paul Sabatier, Institut de Mathématiques
PP  - Toulouse
UR  - https://afst.centre-mersenne.org/articles/10.5802/afst.1335/
DO  - 10.5802/afst.1335
LA  - fr
ID  - AFST_2012_6_21_2_235_0
ER  - 
%0 Journal Article
%A G. Leloup
%T Autour des groupes cycliquement ordonnés
%J Annales de la Faculté des sciences de Toulouse : Mathématiques
%D 2012
%P 235-257
%V 21
%N 2
%I Université Paul Sabatier, Institut de Mathématiques
%C Toulouse
%U https://afst.centre-mersenne.org/articles/10.5802/afst.1335/
%R 10.5802/afst.1335
%G fr
%F AFST_2012_6_21_2_235_0
G. Leloup. Autour des groupes cycliquement ordonnés. Annales de la Faculté des sciences de Toulouse : Mathématiques, Serie 6, Volume 21 (2012) no. 2, pp. 235-257. doi : 10.5802/afst.1335. https://afst.centre-mersenne.org/articles/10.5802/afst.1335/

[1] Droste (M.), Giraudet (M.) & Macpherson (D.).— Periodic ordered permutation groups and cyclic orderings, Journal of Combinatorial Theory, Series B 63, p. 310-321 (1995). | MR | Zbl

[2] Fuchs (L.).— Partially Ordered Algebraic Systems, International Series of Monographs in Pure and Applied Mathematics, vol 28, Pergamon Press (1963). | MR | Zbl

[3] Giraudet (M.), Kuhlmann (F.-V.) & Leloup (G.).— Formal power series with cyclically ordered exponents, Arch. Math. 84, p. 118-130 (2005). | MR

[4] Giraudet (M.) & Lucas (F.).— Quelques résultats sur la théorie des modèles de groupes abéliens cycliquement ordonnés, Séminaire de Structures Algébriques ordonnées, prépublications de l’université Paris VII 49 (1994).

[5] Giraudet (M.) & Lucas (F.).— First order theory of cyclically ordered groups, dans  : F. Lucas, Théorie des modèles de groupes abéliens ordonnés, habilitation à diriger des recherches, université Paris VII, (1996).

[6] Giraudet (M.) & Lucas (F.).— c-homomorphisms and c-convex subgroups of cyclically ordered groups, preprint.

[7] Glusschankov (D.).— Cyclic ordered groups and MV-algebras, Czechoslovak Mathematikal Journal 43 n ∘ 2, p. 249-263 (1983). | MR | Zbl

[8] Jakubík (J.) & Pringerová (G.).— Representations of cyclically ordered groups. Časop. Pěstov. Matem. 113, p. 184-196 (1988). | MR | Zbl

[9] Jakubík (J.) & Pringerová (G.).— Direct limits of cyclically ordered groups. Czechoslovak Mathematikal Journal 44 n ∘ 2, p. 231-250 (1994). | MR | Zbl

[10] Kaplansky (I.).— Maximal fields with valuations, Duke Math Journal 9, p. 303-321 (1942). | MR | Zbl

[11] Kokorin (A.I.) & Kopytov (V.M.).— Fully ordered groups, J. Wiley & sons, New-York (1974). | MR

[12] Leloup (G.).— Cyclically valued rings and formal power series, Annales mathématiques Blaise Pascal 14, n ∘ 1, p. 117-140 (2007). | Numdam | MR

[13] Leloup (G.).— Existentially equivalent cyclically ultrametric spaces and cyclically valued groups, Logic Journal of the IGPL, 2010 ; doi :10.1093/jigpal/jz024. | MR

[14] Lucas (F.).— Théorie des modèles des groupes cycliquement ordonnés abéliens divisibles, dans  : F. Lucas, Théorie des modèles de groupes abéliens ordonnés, habilitation à diriger des recherches, université Paris VII (1996).

[15] Lucas (F.).— Théorie des modèles des groupes cycliquement ordonnés abéliens divisibles, Séminaire de Structures Algébriques ordonnées, prépublications de l’université Paris VII 56 (1996).

[16] Novák (V.).— Cyclically ordered sets, Czech. Math. J. 32, p. 460-473 (1982). | MR | Zbl

[17] Novák (V.).— Cuts in cyclically ordered sets, Czech. Math. J. 34, p. 322-333 (1984). | MR | Zbl

[18] Novák (V.) & Novotný (M.).— On completions of cyclically ordered sets, Czech. Math. J. 37, p. 407-414 (1987). | Zbl

[19] Rieger (L.).— On ordered and cyclically ordered groups I, Věstník král. českŽ spol. nauk, p. 1-31 (en tchèque) (1946). | MR

[20] Rieger (L.).— On ordered and cyclically ordered groups II, Věstník král. českŽ spol. nauk, p. 1-33 (en tchèque) (1947). | MR

[21] Rieger (L.).— On ordered and cyclically ordered groups III, Věstník král. českŽ spol. nauk, p. 1-26 (en tchèque) (1948). | MR

[22] Sabbagh (G.).— Un théorème de plongement en algèbre, Bull. Soc. Math. 2, p. 49-52 (1968). | MR | Zbl

[23] Schmitt (P.-H.).— Undecidable theories of valuated Abelian groups, Mémoires de la S.M.F. 2 ème série, tome 16, p. 67-76 (1984). | Numdam | MR | Zbl

[24] Schmitt (P.-H.).— Decidable theories of valuated Abelian groups, Proceedings of the Logic Colloquium 1984, North Holland, p. 245-276 (1986). | MR | Zbl

[25] Świerczkowski (S.).— On cyclically ordered groups, Fund. Math. 47, p. 161-166 (1959). | MR | Zbl

[26] Zabrina (I.) & Pestov (G.).— Sverchkovskii’s theorem, Sibirskii’s Mathematischeskii Zurnal 25 n ∘ 4, p. 46-53 (1984). | MR | Zbl

[27] Zheleva (S. D.).— Cyclically ordred groups, Sibirskii Mathematiskii Zhurnal 17, 1046-1051 (1976). | MR | Zbl

Cited by Sources: