Casoratien et équations aux différences $p$-adiques

Jean-Paul Bézivin

doi:10.5802/afst.1380

Casoratien et équations aux différences

p

-adiques

Jean-Paul Bézivin

Annales de la Faculté des sciences de Toulouse : Mathématiques, Serie 6, Volume 22 (2013) no. 3, pp. 495-523.

Abstract
Abstract

In this paper, we prove an inequality linking the growth of a generalized casoratian of $m$ $p$ -adic power series to the growth of the ordinary casoratian of these $m$ power series. A consequence is that if the casoratian of $m$ entire $p$ -adic functions is a non zero polynomial, then all these functions are polynomials. As an application, we prove that if a linear difference equation of order $t$ with coefficients in $ℂ_{p} [x]$ has $t$ solutions meromorphic in all $ℂ_{p}$ , linearly independant over $ℂ_{p}$ , then the difference equation has $t$ solutions linearly independant over $ℂ_{p}$ , that are rational functions. This is also the case when the linear difference equation has coefficients in $ℚ [x]$ , and has for an infinity of prime numbers $p$ , $t$ meromorphic solutions, linearly independant over $ℂ_{p}$ , in a disc of $ℂ_{p}$ with radius strictly greater than $1$ .

Dans cet article, nous démontrons une inégalité liant la croissance d’un casoratien généralisé de $m$ séries entières $p$ -adique à la croissance du casoratien ordinaire de ces $m$ séries entières. Il en résulte que si le casoratien de $m$ fonctions entières $p$ -adiques est un polynôme non nul, alors toutes ces fonctions sont des polynômes. Comme application, nous montrons que si une équation aux différences linéaire d’ordre $t$ à coefficients dans $ℂ_{p} [x]$ a $t$ solutions méromorphes dans tout $ℂ_{p}$ , linéairement indépendantes sur $ℂ_{p}$ , alors elle a $t$ solutions fractions rationnelles linéairement indépendantes. C’est aussi le cas si l’équation aux différences est à coefficients dans $ℚ [x]$ , et si, pour une infinité de nombres premiers $p$ , elle a $t$ solutions méromorphes, linéairement indépendantes sur $ℂ_{p}$ , dans un disque de $ℂ_{p}$ de rayon strictement supérieur à $1$ .

EuDML MR Zbl

DOI: 10.5802/afst.1380

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Jean-Paul Bézivin. Casoratien et équations aux différences $p$-adiques. Annales de la Faculté des sciences de Toulouse : Mathématiques, Serie 6, Volume 22 (2013) no. 3, pp. 495-523. doi : 10.5802/afst.1380. https://afst.centre-mersenne.org/articles/10.5802/afst.1380/

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