Feuilleter
no. 2
Amenable actions of real and $p$-adic algebraic groups
[Actions moyennables de groupes algébriques réels et $p$-adiques]
Alain J. Valette1
1Institut de Mathématiques-Unimail, 11 Rue Emile Argand, CH-2000 Neuchâtel, Switzerland
Annales de la Faculté des sciences de Toulouse : Mathématiques, Série 6, Tome 35 (2026) no. 2, pp. 271-277
complété par Appendix to “Amenable actions of real and $p$-adic algebraic groups” by Alain Valette

Let $K$ be a locally compact field of characteristic 0. Let $G$ be a linear algebraic group defined over $K$, acting algebraically on an algebraic variety $V$. We prove that the action of $G(K)$ (the group of $K$-rational points of $G$) on $V(K)$ is topologically amenable, if and only if all point stabilizers in $G(K)$ are solvable-by-compact. This follows by combining a result by Borel–Serre [5]with the following fact: let $G$ be a second countable locally compact group acting continuously on a second countable locally compact space $Y$. If the action $G\curvearrowright Y$ is smooth (i.e. the Borel structure on $G\backslash Y$ is countably separated), then topological amenability of $G\curvearrowright Y$ is equivalent to amenability of all point stabilizers in $G$.

Soit $K$ un corps localement compact de caractéristique 0. Soit $G$ un groupe algébrique linéaire défini sur $K$, agissant algébriquement sur une variété algébrique $V$. Nous montrons que l’action de $G(K)$ (le groupe des points $K$-rationnels de $G$) sur $V(K)$ est topologiquement moyennable, si et seulement si tous les stabilisateurs de points dans $G(K)$ sont résolubles-par-compacts. Pour ce faire, on combine un résultat de Borel–Serre [5] avec le fait suivant : soit $G$ un groupe localement compact dénombrable à l’infini, agissant continument sur un espace localement compact $Y$, dénombrable à l’infini. Si l’action $G\curvearrowright Y$ est lisse (c-à-d. la structure borélienne sur $G\backslash Y$ est dénombrablement séparée), la moyennabilité topologique de $G\curvearrowright Y$ est équivalente à la moyennabilité des stabilisateurs de points.

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DOI : 10.5802/afst.1845
Classification : 22F10, 37B05, 14L30
Keywords: amenable actions, smooth actions, algebraic groups
Mots-clés : actions moyennables, actions lisses, groupes algébriques

Alain J. Valette  1

1 Institut de Mathématiques-Unimail, 11 Rue Emile Argand, CH-2000 Neuchâtel, Switzerland
Licence : CC-BY 4.0
Droits d'auteur : Les auteurs conservent leurs droits
Alain J. Valette. Amenable actions of real and $p$-adic algebraic groups. Annales de la Faculté des sciences de Toulouse : Mathématiques, Série 6, Tome 35 (2026) no. 2, pp. 271-277. doi: 10.5802/afst.1845
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