The goal of this paper is to extend the concepts of algebraic and Liouville currents, previously defined for positive closed currents by M. Blel, S. Mimouni and G. Raby, to psh currents on . Thus, we study the growth of the projective mass of positive currents on whose support is contained in a tubular neighborhood of an algebraic subvariety. We also give a sufficient condition guaranteeing that a negative psh current is Liouville. Moreover, we prove that every negative psh algebraic current is Liouville. For the particular case of closed currents, under adequate support conditions, we obtain a structure theorem.
Le but de ces papiers est d’étendre les concepts de courants algébrique et Liouville précédemment définis pour les courants positifs fermés par M. Blel, S. Mimouni et G. Raby aux courants psh sur . Nous étudions alors la croissance de la masse projective des courants positifs définis sur dont le support est contenu dans un voisinage tubulaire d’une sous-variété algébrique. Ensuite, nous donnons une condition suffisante, garantissant qu’un courant négatif et psh soit Liouville. De plus, on montre que tout courant négative psh et algébrique est Liouville. Dans le cas particulier des courants fermés, et sous des conditions adéquates sur le support, nous obtenons un théorème de structure.
Accepté le :
Publié le :
DOI : 10.5802/afst.1261
Fredj Elkhadhra 1 ; Souad Mimouni 1
@article{AFST_2010_6_19_3-4_651_0,
author = {Fredj Elkhadhra and Souad Mimouni},
title = {A {Liouville} theorem for plurisubharmonic currents},
journal = {Annales de la Facult\'e des sciences de Toulouse : Math\'ematiques},
pages = {651--674},
year = {2010},
publisher = {Universit\'e Paul Sabatier, Toulouse},
volume = {Ser. 6, 19},
number = {3-4},
doi = {10.5802/afst.1261},
zbl = {1213.32020},
mrnumber = {2790813},
language = {en},
url = {https://afst.centre-mersenne.org/articles/10.5802/afst.1261/}
}
TY - JOUR AU - Fredj Elkhadhra AU - Souad Mimouni TI - A Liouville theorem for plurisubharmonic currents JO - Annales de la Faculté des sciences de Toulouse : Mathématiques PY - 2010 SP - 651 EP - 674 VL - 19 IS - 3-4 PB - Université Paul Sabatier, Toulouse UR - https://afst.centre-mersenne.org/articles/10.5802/afst.1261/ DO - 10.5802/afst.1261 LA - en ID - AFST_2010_6_19_3-4_651_0 ER -
%0 Journal Article %A Fredj Elkhadhra %A Souad Mimouni %T A Liouville theorem for plurisubharmonic currents %J Annales de la Faculté des sciences de Toulouse : Mathématiques %D 2010 %P 651-674 %V 19 %N 3-4 %I Université Paul Sabatier, Toulouse %U https://afst.centre-mersenne.org/articles/10.5802/afst.1261/ %R 10.5802/afst.1261 %G en %F AFST_2010_6_19_3-4_651_0
Fredj Elkhadhra; Souad Mimouni. A Liouville theorem for plurisubharmonic currents. Annales de la Faculté des sciences de Toulouse : Mathématiques, Série 6, Tome 19 (2010) no. 3-4, pp. 651-674. doi: 10.5802/afst.1261
[A-B] Alessandrini (L.), Bassanelli (G.).— Positive closed currents and non Kähler geometry. J. Geom. Analysis., 2, p. 291-316 (1992). | Zbl | MR
[B-E] Ben Messaoud (H.), El Mir (H.).— Opérateur de Monge-Ampère et formule de Tranchage pour un courant positif fermé. CRAS. Paris, t. 321, serie I, p. 277-282 (1995). | Zbl | MR
[B-M-R] Blel (M.), Mimouni (S.K.), Raby (G.).— Courants algébriques et courants de Liouville. Ann. Pol. Math., 86, p. 245-271 (2005). | Zbl | MR
[B-S] Bedford (E.), Smillie (J.).— Polynimial diffeomorphisms of : currents, equilibrium measure and hyperbolicity. Inven. Math., 103, p. 69-99 (1991). | Zbl | MR
[C-G] Coman (D.), Guedj (V.).— Invariant Currents and Dynamical Lelong Numbers. J. Geom. Analysis., V.14, No.2, p. 199-213 (2004). | Zbl | MR
[Ch] Chirka (E.M.).— Complex Analytic sets, Math and Its Applications. Vol. 46. Kluwer Academic Publishers, Dordrecht/Boston/London, (1989). | Zbl | MR
[D-E-E] Dabbek (K.), Elkhadhra (F.), El Mir (H.).— Extension of plurisubharmonic currents. Math. Z., 245, p. 455-481 (2003). | Zbl | MR
[D-L] Dinh (T.C.), Lawrence (M.).— Polynomial hulls and positive currents. Ann. Fac. Sci. Toulouse., V. 12, No.3, 317-334 (2003). | Zbl | Numdam | MR
[D-S] Duval (J.), Sibony (N.).— Polynomial convexity, rational convexity, and currents. Duke Math. J., 79, No.2, p. 487-513 (1995). | Zbl | MR
[De] Demailly (J.-P.).— Potential theory in several complex variables. Cours École d’été CIMPA. Nice, juillet (1989).
[Du] Dujardin (R.).— Dynamique d’applications non polynomiales et courants laminaires. Thèse d’Université Paris XI, Orsay (2002).
[E-M] Elkhadhra (F.), Mimouni (S.).— Courants positifs à support dans une bande. CRAS., Paris, t.341, serie I, p. 549-554 (2005). | Zbl | MR
[El] El Mir (H.).— Sur le prolongement des courants positifs fermés. Acta Math., 153, p. 1-45 (1984). | Zbl | MR
[F-S] Fornaess (J.E.), Sibony (N.).— Harmonic Currents of finite energy and laminations. GAFA., V. 15, p. 962-1003 (2005). | Zbl | MR
[G-K-Z] Gelfand (I. M.), Kapranov (M. M.), Zelevinsky (A. V.).— Discriminants, resultants, and multidimentional determinants. Birkhäuser Boston, Inc., MA, (1994). x+523. | Zbl
[Ga] Garnett (L.).— Foliations, the ergodic theorem and brownian motion. J. Funct. Analysis., 51, p. 285-311 (1983). | Zbl | MR
[Gi] Giret (S.).— Sur le tranchage et le prolongement de courant. Thèse universitaire, Poitiers (1998).
[H-L] Harvey (R.), Lawson (B.J.).— An intrinsic characterization of Kähler manifolds. Inven. Math., 74, p. 169-198 (1983). | Zbl | MR
[Le] Lelong (P.).— Fonctions plurisousharmoniques d’ordre fini dans . J. Analyse. Math. Jerusalem., 12, p. 365-407 (1964). | Zbl | MR
[Mi] Mimouni (S.K.).— Théorème de type Liouville pour les courants positifs fermés. CRAS., t. 331, serie I, p. 611-616 (2000). | MR
Cité par Sources :