Sets in ${\mathbb{C}}^N$ with vanishing global extremal function and polynomial approximation

Józef Siciak

doi:10.5802/afst.1312

Sets in

ℂ^{N}

with vanishing global extremal function and polynomial approximation

Józef Siciak ¹

¹ Institute of Mathematics, Jagiellonian University, Łojasiewicza 6, 30-348 Kraków, Poland

Annales de la Faculté des sciences de Toulouse : Mathématiques, Série 6, Numéro Spécial : Actes du colloque Analyse Complexe et Applications en l’honneur de Nguyen Than Van, Tome 20 (2011), pp. 189-209

Abstract (VO)
Résumé

Let $Γ$ be a non-pluripolar set in $ℂ^{N}$ . Let $f$ be a function holomorphic in a connected open neighborhood $G$ of $Γ$ . Let ${P_{n}}$ be a sequence of polynomials with $deg P_{n} \leq d_{n} (d_{n} < d_{n + 1})$ such that

\underset{n \to \infty}{lim sup} {| f (z) - P_{n} (z) |}^{1 / d_{n}} < 1, z \in Γ .

We show that if

\underset{n \to \infty}{lim sup} {| P_{n} (z) |}^{1 / d_{n}} \leq 1, z \in E,

where $E$ is a set in $ℂ^{N}$ such that the global extremal function $V_{E} \equiv 0$ in $ℂ^{N}$ , then the maximal domain of existence $G_{f}$ of $f$ is one-sheeted, and

\underset{n \to \infty}{lim sup} {∥ f - P_{n} ∥}_{K}^{\frac{1}{d_{n}}} < 1

for every compact set $K \subset G_{f}$ . If, moreover, the sequence ${d_{n + 1} / d_{n}}$ is bounded then $G_{f} = ℂ^{N}$ .

If $E$ is a closed set in $ℂ^{N}$ then $V_{E} \equiv 0$ if and only if each series of homogeneous polynomials $\sum_{j = 0}^{\infty} Q_{j}$ , for which some subsequence ${s_{n_{k}}}$ of partial sums converges point-wise on $E$ , possesses Ostrowski gaps relative to a subsequence ${n_{k_{l}}}$ of ${n_{k}}$ .

In one-dimensional setting these results are due to J. Müller and A. Yavrian [5].

Soit $Γ$ un sous-ensemble non pluripolaire de $ℂ^{N}$ . Soit $f$ une fonction holomorphe sur un voisinage ouvert connexe $G$ de $Γ$ . Soit ${P_{n}}$ une suite de polynômes de degré $deg P_{n} \leq d_{n} (d_{n} < d_{n + 1})$ telle que

\underset{n \to \infty}{lim sup} {| f (z) - P_{n} (z) |}^{1 / d_{n}} < 1, z \in Γ .

On démontre que si

\underset{n \to \infty}{lim sup} {| P_{n} (z) |}^{1 / d_{n}} \leq 1, z \in E,

où $E$ is est un sous-ensemble de $ℂ^{N}$ tel que la fonction extrémale globale $V_{E} \equiv 0$ sur $ℂ^{N}$ , alors le domaine maximal d’existence $G_{f}$ de $f$ est uniforme, et

\underset{n \to \infty}{lim sup} {∥ f - P_{n} ∥}_{K}^{\frac{1}{d_{n}}} < 1

pour tout compact $K \subset G_{f}$ . Si, de plus, la suite ${d_{n + 1} / d_{n}}$ est bornée alors $G_{f} = ℂ^{N}$ .

Si $E$ est un sous-ensemble fermé de $ℂ^{N}$ alors $V_{E} \equiv 0$ si et seulement si chaque série de polynômes homogènes $\sum_{j = 0}^{\infty} Q_{j}$ , ayant une sous-suite ${s_{n_{k}}}$ de sommes partielles convergeant ponctuellement sur $E$ , admet des lacunes de type Ostrowski relativement à une sous-suite ${n_{k_{l}}}$ de ${n_{k}}$ .

En dimension $1$ , ces résultats sont dûs à J. Müller and A. Yavrian [5].

Publié le : 2011-09-22

MR Zbl

DOI : 10.5802/afst.1312

Affiliations des auteurs :

Józef Siciak ¹

¹ Institute of Mathematics, Jagiellonian University, Łojasiewicza 6, 30-348 Kraków, Poland

@article{AFST_2011_6_20_S2_189_0,
     author = {J\'ozef Siciak},
     title = {Sets in ${\mathbb{C}}^N$ with vanishing global extremal function and polynomial approximation},
     journal = {Annales de la Facult\'e des sciences de Toulouse : Math\'ematiques},
     pages = {189--209},
     year = {2011},
     publisher = {Universit\'e Paul Sabatier, Toulouse},
     volume = {Ser. 6, 20},
     number = {S2},
     doi = {10.5802/afst.1312},
     zbl = {1229.32003},
     mrnumber = {2858174},
     language = {en},
     url = {https://afst.centre-mersenne.org/articles/10.5802/afst.1312/}
}

TY  - JOUR
AU  - Józef Siciak
TI  - Sets in ${\mathbb{C}}^N$ with vanishing global extremal function and polynomial approximation
JO  - Annales de la Faculté des sciences de Toulouse : Mathématiques
PY  - 2011
SP  - 189
EP  - 209
VL  - 20
IS  - S2
PB  - Université Paul Sabatier, Toulouse
UR  - https://afst.centre-mersenne.org/articles/10.5802/afst.1312/
DO  - 10.5802/afst.1312
LA  - en
ID  - AFST_2011_6_20_S2_189_0
ER  -

%0 Journal Article
%A Józef Siciak
%T Sets in ${\mathbb{C}}^N$ with vanishing global extremal function and polynomial approximation
%J Annales de la Faculté des sciences de Toulouse : Mathématiques
%D 2011
%P 189-209
%V 20
%N S2
%I Université Paul Sabatier, Toulouse
%U https://afst.centre-mersenne.org/articles/10.5802/afst.1312/
%R 10.5802/afst.1312
%G en
%F AFST_2011_6_20_S2_189_0

Józef Siciak. Sets in ${\mathbb{C}}^N$ with vanishing global extremal function and polynomial approximation. Annales de la Faculté des sciences de Toulouse : Mathématiques, Série 6, Numéro Spécial : Actes du colloque Analyse Complexe et Applications en l’honneur de Nguyen Than Van, Tome 20 (2011), pp. 189-209. doi: 10.5802/afst.1312

Bibliographie
Cité par

[1] Błocki (Z.).— Equilibrium measure of a product subset of $ℂ^{n}$ , PAMS, 128(12), p. 3595-3599 (2000). | Zbl | MR

[2] Cegrell (U.), Kołodziej (S.) and Levenberg (N.).— Two problems on potential theory for unbounded sets, p. 265-276, Math. Scand., 83 (1998). | Zbl | MR

[3] Hayman (W. K.).— Subharmonic Functions, Vol. 2 Academic Press (1989). | Zbl | MR

[4] Klimek (M.).— Pluripotential Theory Oxford Univ. Press (1991). | Zbl | MR

[5] Müller (J.) and Yavria (A.).— On polynomial sequences with restricted growth near infinity, Bull. London Math. Soc., 34, p. 189-199 (2002). | Zbl | MR

[6] Siciak (J.).— Extremal plurisubharmonic functions in $ℂ^{n}$ , Ann. Polon. Math., 39, p. 175-211 (1981). | Zbl | EuDML | MR

[7] Siciak (J.).— Extremal plurisubharmonic functions and capacities in $ℂ^{n}$ , Sophia Kokyuroku in Mathematics, 14 Sophia University, Tokyo (1982). | Zbl

[8] BTaylor (B.A.).— An estimate for an extremal plurisubharmonic function in $ℂ^{n}$ , Seminaire P. Lelong, P. Dolbeault, H. Skoda (Analyse), Lecture Notes in Math., 1028, Springer Verlag, 318-328 (1983). | Zbl | MR

[9] Truong Tuyen Trung.— Sets non-thin at $\infty$ in $ℂ^{m}$ , J. Math. Anal. Appl., 356(2), p. 517-524 (2009). | Zbl | MR

Cité par Sources :