Maximal subextensions of plurisubharmonic functions

U. Cegrell; S. Kołodziej; A. Zeriahi

doi:10.5802/afst.1307

U. Cegrell ¹; S. Kołodziej ²; A. Zeriahi ³

¹ Department of Mathematics, University of Umea, S-90187 Umea, Sweden.
² Jagiellonian University, Institute of Mathematics, Łojasiewicza 6, 30-348 Kraków, Poland.
³ Institut de Mathématiques de Toulouse, UPS, 118 Route de Narbonne, 31062 Toulouse cedex, France.

Annales de la Faculté des sciences de Toulouse : Mathématiques, Serie 6, Volume 20 (2011) no. S2, pp. 101-122.

Abstract
Abstract

In our earlier paper [CKZ], we proved that any plurisubharmonic function on a bounded hyperconvex domain in $ℂ^{n}$ with zero boundary values in a quite general sense, admits a plurisubharmonic subextension to a larger hyperconvex domain. Here we study important properties of its maximal subextension and give informations on its Monge-Ampère measure. More generally, given a quasi-plurisubharmonic function $ϕ$ on a given quasi-hyperconvex domain $D \subset X$ of a compact Kähler manifold $(X, ω)$ , with well defined Monge-Ampère measure such that $\int_{D} {(ω + d d^{c} ϕ)}^{n} \leq \int_{X} ω^{n}$ , we prove that $ϕ$ admits a global quasi-plurisubharmonic subextension $\tilde{ϕ}$ to the whole manifold $X$ . If moreover ${(ω + d d^{c} ϕ)}^{n}$ puts no mass on pluripolar sets of $D$ , the maximal subextension is shown to have a well defined global Monge-Ampère measure on $X$ . Moreover we give a good control on the weigthed energy of the subextension in terms of the weigthed energy of the original function. Finally we provide an exemple in $ℙ^{2}$ which shows that in general the maximal subextension do not have a well defined Monge-Ampère measure on $ℙ^{2}$ if the original function concentrates some mass in an analytic disc.

Dans notre travail précédent [CKZ], nous avions démontré que toute fonction plurisousharmonique sur un ouvert hyperconvexe borné de $ℂ^{n}$ ayant des valeurs au bord nulles en un sens assez général possède une sous-extension plurisousharmonique dans un domaine hyperconvexe plus grand. D’une façon plus générale, étant donnée une fonction quasi-plurisousharmonique $ϕ$ sur un domaine quasi-hyperconvex $D \subset X$ d’une variété kählerienne compacte $(X, ω)$ , de valeurs au bord nulle en un sens généralisé et ayant une mesure de Monge-Ampère bien définie sur $D$ et vérifiant $\int_{D} {(ω + d d^{c} ϕ)}^{n} \leq \int_{X} ω^{n}$ , nous démontrons que $ϕ$ admet une sousextension $\tilde{ϕ}$ à la variété $X$ toute entière. Si de plus ${(ω + d d^{c} ϕ)}^{n}$ ne charge pas les ensembles pluripolaires de $D$ , la sousextension maximale possède une mesure de Monge-Ampère globale bien définie sur $X$ dont nous étudions la mesure de Monge-Ampère. De plus nous donnons un contrôle précis en terme d’energie de Monge-Ampère pondérée de la sousextension maximale en fonction de l’energie pondérée de la donnée $ϕ$ . Enfin nous donnons un exemple dans $ℙ^{2}$ qui montre qu’en général la sousextension maximale n’a pas une mesure de Monge-Ampère globale bien définie si la mesure de Monge-Ampère de la fonction donnée concentre de la masse sur un disque analytique.

MR Zbl

DOI: 10.5802/afst.1307

Author's affiliations:

U. Cegrell ¹; S. Kołodziej ²; A. Zeriahi ³

¹ Department of Mathematics, University of Umea, S-90187 Umea, Sweden.
² Jagiellonian University, Institute of Mathematics, Łojasiewicza 6, 30-348 Kraków, Poland.
³ Institut de Mathématiques de Toulouse, UPS, 118 Route de Narbonne, 31062 Toulouse cedex, France.

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U. Cegrell; S. Kołodziej; A. Zeriahi. Maximal subextensions of plurisubharmonic functions. Annales de la Faculté des sciences de Toulouse : Mathématiques, Serie 6, Volume 20 (2011) no. S2, pp. 101-122. doi : 10.5802/afst.1307. https://afst.centre-mersenne.org/articles/10.5802/afst.1307/

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